Poincare Varsayımı

plus.maths.org

Eğer bir elmanın yüzeyi etrafında bir lastiği gersek, sonra onu yırtmadan ve yüzeyi bırakmasına izin vermeden, onu ağır ağır hareket ettirerek bir noktaya büzebiliriz. Diğer taraftan, aynı lastiği bir simit etrafına her nasılsa uygun bir şekilde gerdiğimizi düşünürsek, bu durumda lastiği yada simidi yırtmadan, parçalamadan bir noktaya büzüştürmemiz mümkün değildir. Elmanın yüzeyine “basit bileşmiş” (simply connected) deriz, öte yandan simidin ki öyle değildir. Poincare, yaklaşık bir asır önce, iki boyutlu bir kürenin (çember) “basit bileşmişlik” (simply connectedness) özeliğe sahip olduğunu biliyor ve aynı özeliğin doğruluğunu üç boyutlu küre için sorguluyordu. Bu sorunun matematiksel ispatı gerçekten zordu ve senelerce matematikçileri uğraştırdı. Geçen yazılarımda bahsedilen Rus bilim adamı Perelman son noktayı koydu.


İlgili yazılar:
https://fatihsultan.wordpress.com/2006/10/16/colbert-raporu-matematik-odulleri-ve-perelman/
https://fatihsultan.wordpress.com/2006/09/04/100-yillik-problemi-cozdu/

Poincare Varsayımının matematiksel ifadesini ve tarihsel sürecini anlatan orijinal yazıyı ingilizce olarak şu linkte bulabilirsiniz: Tıklayın.. (pdf)

Varsayım: Eğer 3 boyutlu kompakt bir M3 manifoldun içerisindeki her basit kapalı eğri, sürekli olarak bir noktaya deforme edilebiliyorsa, bu M3 ün S3 küresine homeomorfik olduğunu gösterir mi?

Bu ifade yukarı da örneğini verdiğimiz problemin günümüz matematiksel ifadesidir. Tabii ki terimlerin matematisel olması doğal. Bu probleme gelene kadar Poincare’in kendisi dahil bir çok matematikçinin, varsayımı ispat yolunda değişik yanlış denemeleri olmuştur. 1950 ve 60 lı yıllarda yüksek boyutlu örnekleri ele alan matematikçiler, 3 boyutlu manifoldlarla ispata nazaran bunların daha kolay olduğunu gördüler. Bu aşamada daha zayıf bir sonucu olan ama ispatı kolay olan Stallings’in teoremi 7 ve daha fazla boyutlarda probleme yaklaştı. Daha sonra Christopher Zeeman bunu 5 ve 6 ya indirdi. Adlarıyla anılan Stallings-Zeeman Teoremi varsayımın ispatında zayıf ama öncü bir adım oldu. Daha zor olan 4 boyudun ispatı için 20 sene beklemek gerekiyordu. Freedman teoremi ile, varsayımı 4 boyutlu topolojik manifoldlar için ispatlamanın yanı sıra, tüm kapalı basit bileşik topolojik 4-manifoldların tam bir sınıflandırmasını da vermişti.

1983 senesinde William Thurston’un öne sürdüğü varsayımın özel bir hali olan Poincare varsayımının ispatı, Thuston’un varsayımının Perelman tarafından ispatı ile tamamlanmış oldu.

(fatihsultan.wordpress.com)