İkinici dereceden $x^2-bx-1=0$ denkleminin her iki tarafını $x$ ile bölersek $x=b+1/x$ bulunur. Şimdi bu $x$ değerini aynı denklemde sağ taraftaki paydada bulunan $x$ yerine yazarsak $$x=b+\frac{1}{b+1/x}$$ elde edilir. Bu ensest prosedüre asla bitmeyen bir kesir merdiveni oluşturmak için sonsuza kadar devam edebiliriz: $$x=b+\frac{1}{b+{\frac{1}{b+{\frac{1}{b+{\frac{1}{b+{...}}}}}}}}.$$ Bu merdiven bir sürekli kesir örneğidir. İlk denkleme geri dönersek üstteki sürekli kesir açılımı ile verilen $x$'in pozitif değerini bulmak için basitçe ikinci dereceden denklemi çözebiliriz, yani $$x=\frac{b+\sqrt{b^2+4}}{2}.$$ $b=1$ alınırsa altın oranın ($\Phi$) sürekli kesir açılımını üretiriz: $$\Phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}}.$$
Bu form bir sayının genel bir sürekli kesrini $$a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{1+...+1/a_n+...}}}}$$ şeklinde tanımlama ilhamını verir. Burada $a_n$, sürekli kesir açılımının kısmi bölümleri adı verilen pozitif sayılardır. Yukarıdaki hantal gösterim yerine genellikle $$[a_0;a_1,a_2,a_3,...,a_n,...]$$ gösterimini kullanırız.
Sürekli kesirler ilk olarak 6. yüzyılda Hintli matematikçi Aryabhata'nın çalışmalarında görülmüştür. Bunları doğrusal denklemleri çözmek için kullandı. 15 ve 16. yüzyıllarda tekrar ortaya çıktı ve Fibonacci bunları genel bir yolla tanımlamaya çalıştı. "Sürekli kesir" kavramı ilk olarak 1653 yılında Oxfordlu matematikçi John Wallis'in Arithmetica Infinitorum kitabında göründü. Bunların özellikleri Wallis'in İngiliz çağdaşlarından biri ve Wallis'le birlikte Kraliyet Topluluğu'nun kurucularından olan William Brouncker tarafından da çok çalışıldı. Aynı zamanlarda ünlü Hollandalı matematiksel fizikçi Christiaan Huygens bilimsel araçların kurulumunda sürekli kesirleri kullandı. Sonra 18. yüzyıl ve 19. yüzyılın başlarında Gauss ve Euler bunların derin özelliklerini incelediler.