Kaos Nedir?

T gibi bir dönüşümün kaotik olması için dönüşüm tekrar ve tekrar uygulandığında x değerlerindeki küçük farkları büyütmesi gerekir. Bu ise $dT/dx$ türevinin büyüklüğünün her noktada 1'den büyük olmasını gerektirir.

$dT/dx=-1/x^2, 0<x<1$ olduğundan bu açıktır. Ancak bu büyütme duyarlılığı açıkça üretilen x değerine bağlıdır - değer x=0'a ne kadar yakınsa $|dT/dx|$ o kadar büyüktür. Küçük bir $\delta x$ belirsizliği dönüşümün sayesinde $|dT/dx| \delta x$ değerine büyütülür. Kaotik duyarlılık, büyümenin üstel hızda ($exp{\lambda \delta x}$ gibi) olması anlamına gelir.

$\lambda = \ln |dT/dx|$ duyarlılık kuvvetinin ortalama değerini, T dönüşümü ile bulunan x çıktı değerlerini yöneten Gauss olasılık dağılımı yardımıyla bulacağız. Bu ortalama duyarlılık, h, bazen dönüşümün Kolmogorov veya metrik entropisi olarak adlandırılır ve bu nedenle aşağıdaki gibi verilir: $$h=\int^1_0{ln|dT/dx|}p(x)dx.$$
Önceki yazıda verilen T dönüşümü için değeri şu şekildedir: $$h=\int^1_0{\frac{-2ln(x)}{(1+x)ln2}dx}=\frac{\pi ^2}{6(ln2)}.$$

Kaotik Sayılar

Hemen hemen her gerçel sayıdan sonsuz sürekli kesir açılımı (ska) bölümleri üretme işlemi kaotik bir süreçtir. Genişletmek istediğimiz sayı u₁ olsun ve tam sayı kısmı k, kesir kısmı x₁ olmak üzere
$$u_1=k+x_1$$
şeklinde ayırırız.
Bazen tam kısmını almak üzere k=[u] yazarız, mesela [$\pi$]=3, [e]=2. Şimdi, $\pi$ gibi bir sayı ile başlarsak, ilk k₁ bölümü sadece [$\pi$]=3 olur ve kesir kısmı da x₁=0,141592. Sonraki bölüm
$$k_2=[1/x_1]=[1/0,141592...]=[7,0625459...]=7$$
kesir kısmının tam sayı kısmı olur; sonraki kesir kısmı $x_2=0,0625459...$ ve böylece
$$k_3=[1/x_2]=[1/0,0625459...]=[15,988488...]=15$$
olur. Bu basit süreç daha önce verdiğimiz $\pi$'nin ilk birkaç bölümünü verir. Kesir kısımlar her zaman 0 ile 1 arasında gerçel sayılardır. 0 ve 1'e eşit olamazlar, aksi halde ya u₁ sayısı bir rasyonel kesir olur ya da ska sonlu olurdu. Ardışık kesir kısımları üretme süreci aşağıdaki doğrusal olmayan fark denklemi ile verilir:
$$x_{n+1}=T(x_n)=1/x_n-[1/x_n].$$

Khinchin Sabiti

MacTutor History

Daha sonra Rus matematikçi Aleksandr Khinchin (1894-1959) hemen hemen her sürekli kesir açılımının (ska) katsayıları hakkında üçüncü çarpıcı sonucu kanıtladı. Her ne kadar $k_ i $'nin aritmetik ortalaması sonlu bir değere sahip olmasa da geometrik ortalaması sahiptir. Gerçekten de hemen hemen her gerçel sayının ska'ları için evrensel olan sonlu bir değere sahiptir.
$$n\rightarrow \infty, \; (k_1k_2k_3 \ldots k_n)^{1/n} \rightarrow \kappa$$
olduğunu gösterdi.
Khinchin sabiti $\kappa$, yavaş yakınsayan sonsuz bir çarpımla verilir:
$$\kappa = \prod_{k = 1}^ \infty \{1+ \frac{1}{k(k + 2)} \}^{\ln{k} / \ln{2}} = 2.68545 \ldots $$
Bu nedenle, geometrik ortalama bölüm değeri yaklaşık 2,68 dir ve olasılık dağılımında gördüğümüz küçük değerlerin baskınlığını yansıtır. Yine, bu değere $\pi $'nın bölümleri ile ne kadar yaklaşıldığını görmek ilginçtir.

Levy Sabiti

Paul Lévy, hemen hemen her sürekli kesir genişlemesine dikkat ettiğimizde, rasyonel yakınsaklar hakkında eşit derecede şaşırtıcı ve genel bir şey söyleyebileceğimizi göstermiştir. Gerçel sayılara rasyonel yaklaşımların$\ n$ arttıkça $q_n^{-2}$ ifadesinin sabit bir katı şeklinde arttığını zaten 21-24 denklemlerinde görmüştük. Hemen hemen her sayı için$\ n$ arttıkça karşılık gelen $q_n$ değerinin üstel olarak o kadar hızlı bir şekilde artamayacağı gösterilebilir (Bir A pozitif sayısı için,$\ n\rightarrow \infty $ iken $\ q_n <e^{An}$). Lévy, temel bir sabit ile belirlenecek gerçek büyüme oranını ayırdı, böylece hemen hemen her gerçel sayının $$\ n \rightarrow \infty, \; q_n^{1/n} \rightarrow L $$ sürekli kesir açılımındaki bölümlerin paydaları için, L Levy sabiti olmak üzere, $$\ L=\exp \{\frac{\pi^2}{12 \ln{2}} \}=3.2758229187 \ldots$$ olduğu bulunur.

Gauss'ın Diğer Olasılık Dağılımı

Vikipedi

Sürekli kesir açılımının genel örneği, 1812'de büyük Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss (1777-1855) tarafından keşfedildi, ancak bulgularını yayınlamadı. Bunun yerine, Paris'teki Pierre Laplace'a kendisinin ne bulduğunu, tipik devam eden kesir açılımları için $ P([0; a_1, a_2, \ldots, a_ n, \ldots] <x) $ 

olasılığının $ \log_2 (1 + x),  n \rightarrow \infty$ değerine yaklaştığını yazdı. Sadece 1928'de Gauss'un kanıtı, Rus matematikçisi RO Kuzmin tarafından yeniden yapılandırıldı ve genelleştirildi, (başka bir şekilde) bir yıl sonra Fransız matematikçi Paul Lévy (1886-1971) tarafından kanıtlandı. 

Eğer hemen hemen her gerçel sayının sonsuz sürekli kesir açılımını düşünürsek, n genişledikçe, $a_ n$ bölümünün $ k $ tamsayısına eşit olma ihtimali 

$P (k) = \frac {\ln {1+ \frac{1}{k (k + 2)} }} {\ln 2}$

değerine yaklaşır.

Bu, bazı önemli özelliklere sahiptir. Öncelikle bu bir olasılık dağılımı olduğundan, k'nın tüm değerleri üzerinden, 1'den $\infty$'a kadar, bir toplam alırsak cevap 1 olur. İkincisi, büyük k değerlerinin nadir olduğunu görüyoruz: Aslında, P (1), P (2) vb değerlerinin hesaplanmasıyla, bölümlerin yaklaşık %41'inin 1  ve %17'sinin  2 olduğu görülür. k arttıkça, bölümlerde görünen daha büyük k değerlerinin olma ihtimali çok düşüktür. Önceki örneklerimize bakarsak, e'nin "hemen hemen her" tanımına dahil edilmeyen özel reel sayı kümesine üye olduğunu görüyoruz. Bununla birlikte, $ \pi $ bir üye gibi görünüyor. Ramanujan'ın ürettiği $ pi $ yaklaşık değerine bakarsak, 16539 kadar büyük bir bölüm olasılığının sadece $10^9 $ 'da yaklaşık 5 parça olduğunu görürüz.

Binom teoremini kullanarak payı genişletmek için k yeterince büyütürsek (yani k(k + 2)'nın k^2 olarak davrandığında), o zaman $P (k) \approx k ^ {- 2}, k \rightarrow \infty $ olur. Bu, hemen hemen her sayının sürekli kesir açılımındaki k değerinin ortalama (veya aritmetik ortalama) değerini bulmaya çalışırsak, sonsuz bir cevap alırız demektir. Ortalama, sadece $ \sum k ^ {- 1},  k \rightarrow \infty $ durumu dışında 1 ila $ \infty $ arasında $\sum kP(k)$ toplamıdır.

Ramanujan'ın Bir Hilesi

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/
PictDisplay/Ramanujan.html

Muhteşem Hintli matematikçi Srinivasa Ramanujan (1887-1920) rakamlarla ve onların birbirleriyle olan ilişkileri hakkındaki anlaşılmaz sezgisiyle ünlüdür. Geçmiş yüzyılların matematikçileri gibi çarpıcı formüllere meraklıydı ve (görünüşte hiç yoktan) olağanüstü doğru yaklaşımları ortaya çıkarmaktan haz duyardı ($2^{10} \approx 10^3$ olduğunu gösterebilir misiniz?). Ramanujan özellikle sürekli kesirleri severdi ve özelliklerine dair sıradışı bir bilgiye sahipti. Bunu bilen biri, onun alışılmadık yaklaşım formüllerinden birine nasıl ulaştığını görebilir. Bazı irrasyonel sayıların, sürekli kesir açılımlarının ilk birkaç teriminde çok büyük bir bölüm ürettiğinde, bu irrasyonellere son derece doğru bir yaklaşım üretmek için rasyonal hale getirilebileceğini biliyordu. Ramanujan'ın $\pi $ değerine yaklaşımı buna güzel bir örnek sağlar:

$\pi \approx (\frac {2143} {22})^{\frac{1}{4}}$

Rasyonel Yaklaşımlar

Sürekli kesirler sayılar alanında başka türlü gizli bir düzeni araştırmamızı sağlar. Eğer $\Phi  (0,61803 \ldots)$ sayısının ondalık kısmını veya hatta ikili tabanda ($0,100111 \ldots$) yazmış olsaydık, oldukça sıradan olmayan bir sayı görünürdü. Yalnızca sürekli kesir olarak yazıldığında, benzersiz durumu ortaya çıkıyor.

Bir sürekli kesri n düzeyinde parçalayarak elde edilen rasyonel kesirlere, sürekli kesrin yakınsakları denir. Bunları $p_ n/q_ n$ olarak belirtiriz. n arttıkça, irrasyonel bir x ile yakınsağı arasındaki fark,

$\left | x- \frac{p_ n}{q_ n} \right | \Rightarrow 0$

ne kadar çabuk azalır?

Dişliler

Huygens, güneş sisteminin mekanik bir modelini üretiyor ve gezegen yörüngelerinin uygun şekilde ölçeklendirilmiş bir versiyonunu üretmek için dişli oranlarını tasarlamak istiyordu. Örneğin, Huygens'in modelinin bir gününde Satürn'ün Güneş'i dolaşması için gereken süre 29,46 yıl (bugün 29,43 yıl olarak biliniyor) olarak düşünülüyordu. Bu hareketi doğru ölçeklendirmek için, biri P dişli, diğeri Q dişli olmak üzere iki dişli yapması gerekiyordu; böylece P/Q yaklaşık 29,46 olacaktı. Huygens, çok sayıda küçük dişleri bulunan dişlileri modellemek zor olduğundan, P ve Q nispeten küçük değerlerini arıyordu. 29,46 için sürekli kesri hesapladı ve ilk birkaç rasyonel yaklaşımı belirledi: $\frac {29}{1}, \frac{59}{2}, \frac{206}{7}$. Böylece, Satürn'ün Dünya'nınkine göre hareketini doğru bir şekilde simüle etmek için Huygens, biri 7 dişli ve diğeri 206 dişli iki dişli yaptı.

Pisagor Müzikal Gamları

Eski Pisagorcular, bir müzik aleti dizgesinin küçük tamsayılarca belirlenen bir oranla bölünmesinin çekici bir ilişki oluşturduğunu keşfettiler. Örneğin, bir yarım uzunluk, 2:1'lik bir frekans oranı verir (oktatonik dizi) ve üçte birlik bir uzunluk, 3:2'lik bir oran verir (pentatonik dizi), çeyrek uzunluk, 4:3'lük bir frekans oranı verir (tetratonik dizi) ve bir de 5:4 frekans oranı (majör üçte biri) var.

Şimdi Pisagor ölçeğinin nasıl bir araya geldiğini sorabiliriz. Örneğin, kaç majör üçte biri tam sayıdaki oktavlara eşittir, yani

$(\frac{5}{4})^b = 2^a$

eşitliği ne zaman sağlanır?

Bir Sürekli Kesrin Uzunluğu

Sürekli kesirler sonlu veya sonsuz uzunlukta olabilirler. Sonlu sürekli kesirler, parantezdeki son girdi 1 olmadığı sürece tektirler, yani örneğin 1/2 kesrini [0;1,1] yerine [0;2] şeklinde yazmalıyız. Son girdinin 1 olmasını her zaman önceki girdiyle toplayarak engelleyebiliriz.

Sürekli Kesirlere Giriş

İkinici dereceden $x^2-bx-1=0$ denkleminin her iki tarafını $x$ ile bölersek $x=b+1/x$ bulunur. Şimdi bu $x$ değerini aynı denklemde sağ taraftaki paydada bulunan $x$ yerine yazarsak $$x=b+\frac{1}{b+1/x}$$ elde edilir. Bu ensest prosedüre asla bitmeyen bir kesir merdiveni oluşturmak için sonsuza kadar devam edebiliriz: $$x=b+\frac{1}{b+{\frac{1}{b+{\frac{1}{b+{\frac{1}{b+{...}}}}}}}}.$$ Bu merdiven bir sürekli kesir örneğidir. İlk denkleme geri dönersek üstteki sürekli kesir açılımı ile verilen $x$'in pozitif değerini bulmak için basitçe ikinci dereceden denklemi çözebiliriz, yani $$x=\frac{b+\sqrt{b^2+4}}{2}.$$ $b=1$ alınırsa altın oranın ($\Phi$) sürekli kesir açılımını üretiriz: $$\Phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}}.$$