İkinci Dereceden Denklemlerin 100 Kullanımı: Altın Oran

Bir dikdörtgeni alıp ardından dikdörtgenin kısa kenarı ile aynı kenar uzunluğundaki bir kareyi dikdörtgenden çıkaralım. Dikdörtgenin uzun kenarı 1 uzunluğa ve kısa kenarı $x$ uzunluğa sahipse kare $x$ uzunluğundaki kenarlara sahiptir. Kalan dikdörtgenin uzun kenarı $x$ ve kısa kenarı $1-x$ olur. Şimdiye kadar çok soyut. Ancak Yunanlılar, en estetik oranlara sahip olan (Altın Dikdörtgen adı verilen) dikdörtgenin bu olduğuna inanıyorlardı, çünkü büyük ve küçük dikdörtgenlerin aynı kenar uzunluğu oranlarına sahipti. Bunun mümkün olması için şu gerekir:$$\frac{x}{1} =\frac{1-x}{x} \, \textrm{veya} \, x^2+x=1.$$Bu ise başka bir ikinci dereceden denklemdir: Çok sayıda uygulamada geçen önemli bir denklem. (Pozitif) çözümü şudur:$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=0.61803....$$Burada $x$ sayısına altın oran adı verilir ve $\phi$ ile gösterilir.

Euler Projesi 258. Soru

Gecikmeli Fibonacci Dizisi

Bu dizi aşağıdaki şekilde tanımlanıyor:

• g_k = 1, 0 ≤ k ≤ 1999 ise
• g_k = g_k-2000 + g_k-1999, k ≥ 2000 ise.

k = 10¹⁸ için g_k mod 20092010 değerini bulunuz.

Akıllara Durgunluk Veren 10 Denklem - 3

8. Fibonacci Dizisinin Açık Formülü: $$\Large F(n)=\frac{(\varphi)^n-(-1/\varphi)^n}{\sqrt{5}}$$Burada $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ olup altın oran diye bilinir. Çoğu kimse okul yıllarından Fibonacci dizisini duymuştur (1,1,2,3,5,8,13,21,34,...ilk iki sayının toplamı sonraki sayı), ancak yukarıdaki açık formülü çoğu zaman verilmez. Buna göre örneğin 100. Fibonacci sayısını bulmak için ilk 99 sayıyı bulmanız gerekmez. Sadece formülde n yerine 100 yazarsınız. Tüm kareköklere ve bölmelere rağmen sonuç hep tam sayı olacaktır.

Kaos Nedir?

T gibi bir dönüşümün kaotik olması için dönüşüm tekrar ve tekrar uygulandığında x değerlerindeki küçük farkları büyütmesi gerekir. Bu ise $dT/dx$ türevinin büyüklüğünün her noktada 1'den büyük olmasını gerektirir.

$dT/dx=-1/x^2, 0<x<1$ olduğundan bu açıktır. Ancak bu büyütme duyarlılığı açıkça üretilen x değerine bağlıdır - değer x=0'a ne kadar yakınsa $|dT/dx|$ o kadar büyüktür. Küçük bir $\delta x$ belirsizliği dönüşümün sayesinde $|dT/dx| \delta x$ değerine büyütülür. Kaotik duyarlılık, büyümenin üstel hızda ($exp{\lambda \delta x}$ gibi) olması anlamına gelir.

$\lambda = \ln |dT/dx|$ duyarlılık kuvvetinin ortalama değerini, T dönüşümü ile bulunan x çıktı değerlerini yöneten Gauss olasılık dağılımı yardımıyla bulacağız. Bu ortalama duyarlılık, h, bazen dönüşümün Kolmogorov veya metrik entropisi olarak adlandırılır ve bu nedenle aşağıdaki gibi verilir: $$h=\int^1_0{ln|dT/dx|}p(x)dx.$$
Önceki yazıda verilen T dönüşümü için değeri şu şekildedir: $$h=\int^1_0{\frac{-2ln(x)}{(1+x)ln2}dx}=\frac{\pi ^2}{6(ln2)}.$$

Kaotik Sayılar

Hemen hemen her gerçel sayıdan sonsuz sürekli kesir açılımı (ska) bölümleri üretme işlemi kaotik bir süreçtir. Genişletmek istediğimiz sayı u₁ olsun ve tam sayı kısmı k, kesir kısmı x₁ olmak üzere
$$u_1=k+x_1$$
şeklinde ayırırız.
Bazen tam kısmını almak üzere k=[u] yazarız, mesela [$\pi$]=3, [e]=2. Şimdi, $\pi$ gibi bir sayı ile başlarsak, ilk k₁ bölümü sadece [$\pi$]=3 olur ve kesir kısmı da x₁=0,141592. Sonraki bölüm
$$k_2=[1/x_1]=[1/0,141592...]=[7,0625459...]=7$$
kesir kısmının tam sayı kısmı olur; sonraki kesir kısmı $x_2=0,0625459...$ ve böylece
$$k_3=[1/x_2]=[1/0,0625459...]=[15,988488...]=15$$
olur. Bu basit süreç daha önce verdiğimiz $\pi$'nin ilk birkaç bölümünü verir. Kesir kısımlar her zaman 0 ile 1 arasında gerçel sayılardır. 0 ve 1'e eşit olamazlar, aksi halde ya u₁ sayısı bir rasyonel kesir olur ya da ska sonlu olurdu. Ardışık kesir kısımları üretme süreci aşağıdaki doğrusal olmayan fark denklemi ile verilir:
$$x_{n+1}=T(x_n)=1/x_n-[1/x_n].$$

Khinchin Sabiti

MacTutor History

Daha sonra Rus matematikçi Aleksandr Khinchin (1894-1959) hemen hemen her sürekli kesir açılımının (ska) katsayıları hakkında üçüncü çarpıcı sonucu kanıtladı. Her ne kadar $k_ i $'nin aritmetik ortalaması sonlu bir değere sahip olmasa da geometrik ortalaması sahiptir. Gerçekten de hemen hemen her gerçel sayının ska'ları için evrensel olan sonlu bir değere sahiptir.
$$n\rightarrow \infty, \; (k_1k_2k_3 \ldots k_n)^{1/n} \rightarrow \kappa$$
olduğunu gösterdi.
Khinchin sabiti $\kappa$, yavaş yakınsayan sonsuz bir çarpımla verilir:
$$\kappa = \prod_{k = 1}^ \infty \{1+ \frac{1}{k(k + 2)} \}^{\ln{k} / \ln{2}} = 2.68545 \ldots $$
Bu nedenle, geometrik ortalama bölüm değeri yaklaşık 2,68 dir ve olasılık dağılımında gördüğümüz küçük değerlerin baskınlığını yansıtır. Yine, bu değere $\pi $'nın bölümleri ile ne kadar yaklaşıldığını görmek ilginçtir.

Levy Sabiti

Paul Lévy, hemen hemen her sürekli kesir genişlemesine dikkat ettiğimizde, rasyonel yakınsaklar hakkında eşit derecede şaşırtıcı ve genel bir şey söyleyebileceğimizi göstermiştir. Gerçel sayılara rasyonel yaklaşımların$\ n$ arttıkça $q_n^{-2}$ ifadesinin sabit bir katı şeklinde arttığını zaten 21-24 denklemlerinde görmüştük. Hemen hemen her sayı için$\ n$ arttıkça karşılık gelen $q_n$ değerinin üstel olarak o kadar hızlı bir şekilde artamayacağı gösterilebilir (Bir A pozitif sayısı için,$\ n\rightarrow \infty $ iken $\ q_n <e^{An}$). Lévy, temel bir sabit ile belirlenecek gerçek büyüme oranını ayırdı, böylece hemen hemen her gerçel sayının $$\ n \rightarrow \infty, \; q_n^{1/n} \rightarrow L $$ sürekli kesir açılımındaki bölümlerin paydaları için, L Levy sabiti olmak üzere, $$\ L=\exp \{\frac{\pi^2}{12 \ln{2}} \}=3.2758229187 \ldots$$ olduğu bulunur.

Fibonacci Sayıları

Gauss'ın Diğer Olasılık Dağılımı

Vikipedi

Sürekli kesir açılımının genel örneği, 1812'de büyük Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss (1777-1855) tarafından keşfedildi, ancak bulgularını yayınlamadı. Bunun yerine, Paris'teki Pierre Laplace'a kendisinin ne bulduğunu, tipik devam eden kesir açılımları için $ P([0; a_1, a_2, \ldots, a_ n, \ldots] <x) $ 

olasılığının $ \log_2 (1 + x),  n \rightarrow \infty$ değerine yaklaştığını yazdı. Sadece 1928'de Gauss'un kanıtı, Rus matematikçisi RO Kuzmin tarafından yeniden yapılandırıldı ve genelleştirildi, (başka bir şekilde) bir yıl sonra Fransız matematikçi Paul Lévy (1886-1971) tarafından kanıtlandı. 

Eğer hemen hemen her gerçel sayının sonsuz sürekli kesir açılımını düşünürsek, n genişledikçe, $a_ n$ bölümünün $ k $ tamsayısına eşit olma ihtimali 

$P (k) = \frac {\ln {1+ \frac{1}{k (k + 2)} }} {\ln 2}$

değerine yaklaşır.

Bu, bazı önemli özelliklere sahiptir. Öncelikle bu bir olasılık dağılımı olduğundan, k'nın tüm değerleri üzerinden, 1'den $\infty$'a kadar, bir toplam alırsak cevap 1 olur. İkincisi, büyük k değerlerinin nadir olduğunu görüyoruz: Aslında, P (1), P (2) vb değerlerinin hesaplanmasıyla, bölümlerin yaklaşık %41'inin 1  ve %17'sinin  2 olduğu görülür. k arttıkça, bölümlerde görünen daha büyük k değerlerinin olma ihtimali çok düşüktür. Önceki örneklerimize bakarsak, e'nin "hemen hemen her" tanımına dahil edilmeyen özel reel sayı kümesine üye olduğunu görüyoruz. Bununla birlikte, $ \pi $ bir üye gibi görünüyor. Ramanujan'ın ürettiği $ pi $ yaklaşık değerine bakarsak, 16539 kadar büyük bir bölüm olasılığının sadece $10^9 $ 'da yaklaşık 5 parça olduğunu görürüz.

Binom teoremini kullanarak payı genişletmek için k yeterince büyütürsek (yani k(k + 2)'nın k^2 olarak davrandığında), o zaman $P (k) \approx k ^ {- 2}, k \rightarrow \infty $ olur. Bu, hemen hemen her sayının sürekli kesir açılımındaki k değerinin ortalama (veya aritmetik ortalama) değerini bulmaya çalışırsak, sonsuz bir cevap alırız demektir. Ortalama, sadece $ \sum k ^ {- 1},  k \rightarrow \infty $ durumu dışında 1 ila $ \infty $ arasında $\sum kP(k)$ toplamıdır.

Euler Projesi 230. Soru

Fibonacci Kelimeleri

Herhangi iki A and B rakam dizisi için içindeki her terim önceki ikisinin birleşimi olan F_A,B dizisini (A,B,AB,BAB,ABBAB,...) biçiminde tanımlayalım.

Dahası D_A,B(n), F_A,B dizisinin en az n basamağı bulunan ilk teriminin n. basamağı olsun.

Örnek:
A=1415926535, B=8979323846 olsun. D_A,B(35) bulmak için:
F_A,B dizisinin ilk birkaç terimi:
1415926535
8979323846
14159265358979323846
897932384614159265358979323846
14159265358979323846897932384614159265358979323846
Bu durumda D_A,B(35), 5. terimdeki 35. basamaktır: 9.

Şimdi A için π sayısının ilk 100 ondalık basamağını alalım:
14159265358979323846264338327950288419716939937510
58209749445923078164062862089986280348253421170679
ve B için sonraki 100 basamağı:
82148086513282306647093844609550582231725359408128
48111745028410270193852110555964462294895493038196 .
∑_{n = 0,1,...,17}   10ⁿ× D_A,B((127+19n)×7ⁿ) kaçtır?

Rasyonel Yaklaşımlar

Sürekli kesirler sayılar alanında başka türlü gizli bir düzeni araştırmamızı sağlar. Eğer $\Phi  (0,61803 \ldots)$ sayısının ondalık kısmını veya hatta ikili tabanda ($0,100111 \ldots$) yazmış olsaydık, oldukça sıradan olmayan bir sayı görünürdü. Yalnızca sürekli kesir olarak yazıldığında, benzersiz durumu ortaya çıkıyor.

Bir sürekli kesri n düzeyinde parçalayarak elde edilen rasyonel kesirlere, sürekli kesrin yakınsakları denir. Bunları $p_ n/q_ n$ olarak belirtiriz. n arttıkça, irrasyonel bir x ile yakınsağı arasındaki fark,

$\left | x- \frac{p_ n}{q_ n} \right | \Rightarrow 0$

ne kadar çabuk azalır?

Pi Sayısının Yaklaşık Değeri

Sonlu sayıda adımdan sonraki sonsuz ondalık basamağı kesersek orijinal irrasyonel sayı için rasyonel bir yaklaşım elde ederiz. Örneğin, $\pi$ durumunda (sürekli kesir açılımı için bakınız), sürekli kesri [3; 7]'de kesersek, $\pi$ için 22/7 = 3,1428571 bilinen rasyonel yaklaşımını elde ederiz. İki terimi daha tutarsak [3; 7,15,1] = 355/113 = 3,1415929 olur; ve $\pi$ = 3,14159265 daha iyi bir yaklaşım. Bu yaklaşım erken dönemdeki Çinlilerce biliniyordu. İlk sekiz rasyonel yaklaşım şu şekildedir:

$\frac{3}{1}, \frac {22}{7}, \frac {333} {106}, \frac {355} {113}, \frac {103993} {33102}, \frac {104348} {33215}, \frac {208341} {66317}, \frac {312689} {99532}.$

Bir Sürekli Kesrin Uzunluğu

Sürekli kesirler sonlu veya sonsuz uzunlukta olabilirler. Sonlu sürekli kesirler, parantezdeki son girdi 1 olmadığı sürece tektirler, yani örneğin 1/2 kesrini [0;1,1] yerine [0;2] şeklinde yazmalıyız. Son girdinin 1 olmasını her zaman önceki girdiyle toplayarak engelleyebiliriz.

Sürekli Kesirlere Giriş

İkinici dereceden $x^2-bx-1=0$ denkleminin her iki tarafını $x$ ile bölersek $x=b+1/x$ bulunur. Şimdi bu $x$ değerini aynı denklemde sağ taraftaki paydada bulunan $x$ yerine yazarsak $$x=b+\frac{1}{b+1/x}$$ elde edilir. Bu ensest prosedüre asla bitmeyen bir kesir merdiveni oluşturmak için sonsuza kadar devam edebiliriz: $$x=b+\frac{1}{b+{\frac{1}{b+{\frac{1}{b+{\frac{1}{b+{...}}}}}}}}.$$ Bu merdiven bir sürekli kesir örneğidir. İlk denkleme geri dönersek üstteki sürekli kesir açılımı ile verilen $x$'in pozitif değerini bulmak için basitçe ikinci dereceden denklemi çözebiliriz, yani $$x=\frac{b+\sqrt{b^2+4}}{2}.$$ $b=1$ alınırsa altın oranın ($\Phi$) sürekli kesir açılımını üretiriz: $$\Phi=\frac{\sqrt{5}+1}{2}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+...}}}}.$$

Sayılara Farklı Bakışlar

Sayıları yazmanın yolları çok çeşitlidir. Aritmetiği farklı tabanlar, kesirler, ondalık sayılar, logaritmalar, kuvvetler ve kısaca kelimelerle kullanabiliriz. Her birinin kendine göre kullanım alanları vardır ve okulda biraz matematik öğrenen herkes bunları bilir. Fakat maalesef sayıların en çarpıcı ve en güçlü gösterimlerinden biri tamamiyle okulda öğretilen matematik dışında bırakılmakta ve üniversite dersleri arasında, sayılar teorisinin özel bir bölümüne girmedikçe, çok nadiren ortaya çıkmaktadır. Sürekli kesirler sayıların en anlamlı gösterimlerinden biridir. Ondalık gösterimleri sıradan ve niteliksiz görünen sayıların, sürekli bir kesir olarak ifade edildiklerinde en derinlerinde gömülü sıradışı simetrilere ve desenlere sahip oldukları görülmektedir. Sürekli kesirler bize, irrasyonel sayıların rasyonel yaklaşımlarının inşasının ve en irrasyonel sayıları keşfetmenin bir yolunu da sunmaktadır.

Herkesin Güzellik Anlayışı Farklı Mıdır?

Bu alandaki öncü (oldukça ilkel) deneyler 1860'larda Alman fizikçi ve psikolog Gustav Theodor Fechner tarafından yapıldı. Fechner'in deneyi basitti: en-boy oranları farklı on dikdörtgen bir deneğin önüne konularak en hoşuna gideni seçmesi isteniyor. Seçimlerin %76'sı 1,75, 1,62 ve 1,50 oranlarına sahip üç dikdörtgenden oluşuyor (ki "Altın Dikdörtgen" için bu oran 1,62). Fechner daha ileri giderek dikdörtgen şekilli binlerce nesnenin (pencereler, çerçeveler, kitaplar) boyutlarını ölçtü ve ( Vorschule der Aesthetik adlı eserinde) yaklaşık oranı Altın Orana yakın bulduğunu iddia etti. Birçok psikolog daha sonra benzer deneyler yaptılar ve oldukça tutarsız sonuçlar elde ettiler. Örneğin Toronto Üniversitesi'nden Michael Godkewitsch çoğu zaman ortalama grup tercihlerinin en çok tercih edilen seçimleri yansıtmadına işaret etti. Mesela herkesin en iyi ikinci olarak değerlendirdikleri bir çay markası ortalamada en iyi olarak görülebilir, fakat belki de hiç kimse bunu satın almayacak. Godkewitsch bu nedenle ilk tercihlerin ortalamalardan daha anlamlı bir tercih ölçüsü olarak alınabileceğini ifade etti. 1974'te yaptığı bir çalışmasında, daha önceki deneylerde rapor edilen Altın Oran tercihinin deneklere sunulan dikdörtgenler kümesinde dikdörtgenin konumunun bir yapay olgu olabileceği sonucuna vardı. Bununla birlikte diğer deneylerde farklı sonuçlar elde edildi.

Altın Oran ve Estetik

Kutsal oranın kökenleri
Elementler kitabında, yazılan en etkili matematik ders kitabı, Öklid adına "uç ya da ortalama oran" dediği bir doğrunun bölümlerinden elde edilen bir oran tanımlar. Tanım şöyledir:
"Bir doğru, kendisinin büyük parçaya oranı, büyük parçanın küçük parçaya oranına eşit olacak biçimde bölündüğünde, uç ya da ortalama oranda bölünmüştür denir."
Diğer bir ifadeyle, aşağıdaki şekilde, C noktası doğruyu öylesine böler ki AC/CB oranı AB/AC oranına eşittir. Bazı temel cebir kitapları bu durumda AC/CB oranının $1/\sqrt{5}=1,618..$ irrasyonel sayısına eşit olduğunu gösterirler.

Kim tahmin edebilir di ki bu masum görünüşlü bölümleme bitkilerin yaprak ve tohum düzenlerinden bazı aluminyum alaşımlarının kristal yapılarına, borsadan sanata değişen sayısız doğal bilinmezlere burnunu soksun?

Gerçekten Öklid'in tanımından sonra geçen yüzyıllar içinde bu sayının şaşırtıcı birçok özelliğinin ortaya çıkmasıyla bu sayıya "Kutsal oran " ya da "Altın oran" onursal isimleri verildi.

Bu yazıda yazar Mario Livio, Altın oranın sadece estetik özellikleri ve bunun matematikle olan ilişkisi üzerinde duruyor.

Fibonacci: Altın Büyüme

Botanikçiler bitkilerin, meristem adı verilen büyüyen bitkinin tepesinde bulunan bir grup hücreden büyüdüklerini gösterdiler. Her dalda büyümeyi devam ettiren meristem dokular mevcuttur. Bir kere oluştumu bitki boyut olarak büyür ama yeni hücreler sadece bu büyüme noktalarında oluşur. Gövdenin altında kalan hücreler genişledikçe meristem yükselir. Bu hücreler aynı zamanda spiral yaparak büyürler: meristem sanki dönüyormuş gibi görünür, yeni bir hücre oluşur, meristem belli bir açıyla diğer yeni hücreleri oluşturur ve böylece devam eder. Bu hücreler daha sonra tohum, yaprak, dal veya çiçek üzerinde taç yaprak ve ercik halini alırlar.

Şekilde yapraklar oluşma sırasına göre numaralandırılmıştır. Her biri öncekine göre saat yönünde bir tam dönüşün 0,618 katı dönüşle (222,5 derece) yerleşmiştir.

İlginç olan şu ki bitki ne kadar büyürse büyüsün tek bir sabit dönme açısı optimal deseni oluşturabilir. Tek bir açı dönüşünün tekdüze dizilim üretmesi prensibi yüzyılın başına kadar şüpheyle karşılanıyordu fakat 1993'de iki Fransız matematikçi, Stephane Douady ve Yves Couder, matematiksel olarak ispatladılar. Evet tam bir dönüşün 0,618 katı dönüşle yeni hücre oluşumu optimal dizilimi gerçekleştirmektedir, ama nereden geliyor bu 0,618 sayısı?

Fibonacci: Spiraller ve Kabuklar

Arı populasyonları Fibonacci sayılarının ortaya çıktığı doğadaki tek alan değildir. Kabukların güzel şekillerinde de görünürler. Bunu göstermek için iki tane bitişik birim kare alalım. Bunlara komşu hemen üzerine 2 (=1+1) birimlik bir kare çizelim. Ardından bu yeni kareye ve önceki birim kareye komşu 3 (=1+2) birim kenarlı yeni bir kare çizelim. Ve yine birim karelere ve 3 birimlik kareye komşu 5 (=2+3) birim kenarlı yeni bir kare çizelim. Bu şekilde peşpeşe önce çizilen iki kareye komşu olacak şekilde ve kenar uzunluğu önceki iki karenin kenar uzunlukları toplamına eşit olan kareler çizebiliriz. Kenar uzunlukları iki ardışık Fibonacci sayısı olan ve kenar uzunlukları Fibonacci sayıları olan karelerden oluşan bu dikdörtgenlere Fibonacci Dikdörtgenleri adı verilir.

Şimdi her karenin içine uç uca gelecek şekilde çeyrek çemberler çizecek olursak bir tür spiral eğrisi elde ederiz. Bu gerçek bir matematiksel spiral eğrisi değildir (çünkü sadece çember parçalarından oluşuyor ve gittikçe küçülen formda değil) ama doğada görünen bir çeşit spiral eğrisine iyi bir yaklaşımdır. Böylesi spiral eğrileri salyangoz kabukları ve deniz kabukları şekillerinde görülür. Aşağıda bir deniz helezonunun ara kesiti gösterilen resimde kabuğun spiral eğrisi gösteriliyor ve hayvanın kullandığı iç hazneler hayvan büyüdükçe ekleniyor. Hazneler suda kaldırma kuvveti sağlıyor.

Fibonacci: Arılar Daha İyi

Tavşan problemi açıkça çok zoraki görünüyor, fakat Fibonacci dizisi gerçek populasyonlarda oluşmaktadır. Bal arıları buna bir örnek. Bir bal arısı kolonisinde kraliçe denen özel bir dişi bulunur. Diğer dişiler kraliçenin aksine yumurta üretmeyen işçi arılardır. Erkek arılar ise çalışmazlar.

Erkek arılar kraliçenin döllenmemiş yumurtalarından çıkarlar, yani erkek arıların anneleri var fakat babaları yoktur. Dişi arılar ise döllenmiş yumurtadan çıkarlar ve hem anne hem de babaları bulunur. Dişiler genelde işçi olurlar ama bazıları arı sütü ile beslenerek kraliçe olurlar ve yeni bir koloni kurmak üzere kovandan ayrılırlar.