Pi Sayısının Yaklaşık Değeri

Sonlu sayıda adımdan sonraki sonsuz ondalık basamağı kesersek orijinal irrasyonel sayı için rasyonel bir yaklaşım elde ederiz. Örneğin, $\pi$ durumunda (sürekli kesir açılımı için bakınız), sürekli kesri [3; 7]'de kesersek, $\pi$ için 22/7 = 3,1428571 bilinen rasyonel yaklaşımını elde ederiz. İki terimi daha tutarsak [3; 7,15,1] = 355/113 = 3,1415929 olur; ve $\pi$ = 3,14159265 daha iyi bir yaklaşım. Bu yaklaşım erken dönemdeki Çinlilerce biliniyordu. İlk sekiz rasyonel yaklaşım şu şekildedir:

$\frac{3}{1}, \frac {22}{7}, \frac {333} {106}, \frac {355} {113}, \frac {103993} {33102}, \frac {104348} {33215}, \frac {208341} {66317}, \frac {312689} {99532}.$

Sürekli kesir açılımında ne kadar çok terim kalırsa, rasyonel yaklaşım o kadar iyi olur. Aslında, sürekli kesir açılımı genel bir irrasyonel sayıya mümkün olan en iyi rasyonel yaklaşımları sağlar. Ayrıca, bölümlerin açılımında çok sayıda basamak ortaya çıkarsa, daha sonra açılımı kesmek olağanüstü iyi rasyonel bir yaklaşım üretir. Daha sonra, bir anlamda, çoğu açılım basamağının küçük sayılar (1 veya 2) olmasının muhtemel olduğunu göreceğiz, bu nedenle $\pi$ 'nin açılımında 292 gibi çok yüksek bir sayı ortaya çıkması oldukça nadirdir. Ayrıca, $\pi$ = [3; 7,15,1,292] = 103993 / 33102 son derece iyi rasyonel yaklaşımını doğurur.