Ted-Ed: Pi'nin sonsuz yaşamı

Bir dairenin çevresinin çapına oranı her zaman aynıdır: 3,14159... ve sonsuza kadar devam eder. Bu irrasyonel sayı, pi, sonsuz sayıda ondalık basamağa sahip, yani ne kadar yaklaşıyor görünürsek görünelim asla tam değerini bilemeyiz. Reynaldo Lopes pi sayısının müzik çalışmaları, finansal modeller ve hatta evrenin yoğunluğunu hesaplama konularındaki geniş uygulamalarını açıklıyor.

Dersin Tamamı: https://ed.ted.com/lessons/the-infinite-life-of-pi-reynaldo-lopes

Ramanujan'ın Bir Hilesi

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/
PictDisplay/Ramanujan.html

Muhteşem Hintli matematikçi Srinivasa Ramanujan (1887-1920) rakamlarla ve onların birbirleriyle olan ilişkileri hakkındaki anlaşılmaz sezgisiyle ünlüdür. Geçmiş yüzyılların matematikçileri gibi çarpıcı formüllere meraklıydı ve (görünüşte hiç yoktan) olağanüstü doğru yaklaşımları ortaya çıkarmaktan haz duyardı ($2^{10} \approx 10^3$ olduğunu gösterebilir misiniz?). Ramanujan özellikle sürekli kesirleri severdi ve özelliklerine dair sıradışı bir bilgiye sahipti. Bunu bilen biri, onun alışılmadık yaklaşım formüllerinden birine nasıl ulaştığını görebilir. Bazı irrasyonel sayıların, sürekli kesir açılımlarının ilk birkaç teriminde çok büyük bir bölüm ürettiğinde, bu irrasyonellere son derece doğru bir yaklaşım üretmek için rasyonal hale getirilebileceğini biliyordu. Ramanujan'ın $\pi $ değerine yaklaşımı buna güzel bir örnek sağlar:

$\pi \approx (\frac {2143} {22})^{\frac{1}{4}}$

Dişliler

Huygens, güneş sisteminin mekanik bir modelini üretiyor ve gezegen yörüngelerinin uygun şekilde ölçeklendirilmiş bir versiyonunu üretmek için dişli oranlarını tasarlamak istiyordu. Örneğin, Huygens'in modelinin bir gününde Satürn'ün Güneş'i dolaşması için gereken süre 29,46 yıl (bugün 29,43 yıl olarak biliniyor) olarak düşünülüyordu. Bu hareketi doğru ölçeklendirmek için, biri P dişli, diğeri Q dişli olmak üzere iki dişli yapması gerekiyordu; böylece P/Q yaklaşık 29,46 olacaktı. Huygens, çok sayıda küçük dişleri bulunan dişlileri modellemek zor olduğundan, P ve Q nispeten küçük değerlerini arıyordu. 29,46 için sürekli kesri hesapladı ve ilk birkaç rasyonel yaklaşımı belirledi: $\frac {29}{1}, \frac{59}{2}, \frac{206}{7}$. Böylece, Satürn'ün Dünya'nınkine göre hareketini doğru bir şekilde simüle etmek için Huygens, biri 7 dişli ve diğeri 206 dişli iki dişli yaptı.

Pisagor Müzikal Gamları

Eski Pisagorcular, bir müzik aleti dizgesinin küçük tamsayılarca belirlenen bir oranla bölünmesinin çekici bir ilişki oluşturduğunu keşfettiler. Örneğin, bir yarım uzunluk, 2:1'lik bir frekans oranı verir (oktatonik dizi) ve üçte birlik bir uzunluk, 3:2'lik bir oran verir (pentatonik dizi), çeyrek uzunluk, 4:3'lük bir frekans oranı verir (tetratonik dizi) ve bir de 5:4 frekans oranı (majör üçte biri) var.

Şimdi Pisagor ölçeğinin nasıl bir araya geldiğini sorabiliriz. Örneğin, kaç majör üçte biri tam sayıdaki oktavlara eşittir, yani

$(\frac{5}{4})^b = 2^a$

eşitliği ne zaman sağlanır?

Pi Sayısının Yaklaşık Değeri

Sonlu sayıda adımdan sonraki sonsuz ondalık basamağı kesersek orijinal irrasyonel sayı için rasyonel bir yaklaşım elde ederiz. Örneğin, $\pi$ durumunda (sürekli kesir açılımı için bakınız), sürekli kesri [3; 7]'de kesersek, $\pi$ için 22/7 = 3,1428571 bilinen rasyonel yaklaşımını elde ederiz. İki terimi daha tutarsak [3; 7,15,1] = 355/113 = 3,1415929 olur; ve $\pi$ = 3,14159265 daha iyi bir yaklaşım. Bu yaklaşım erken dönemdeki Çinlilerce biliniyordu. İlk sekiz rasyonel yaklaşım şu şekildedir:

$\frac{3}{1}, \frac {22}{7}, \frac {333} {106}, \frac {355} {113}, \frac {103993} {33102}, \frac {104348} {33215}, \frac {208341} {66317}, \frac {312689} {99532}.$