Pi Sayısının Yaklaşık Değeri

Sonlu sayıda adımdan sonraki sonsuz ondalık basamağı kesersek orijinal irrasyonel sayı için rasyonel bir yaklaşım elde ederiz. Örneğin, $\pi$ durumunda (sürekli kesir açılımı için bakınız), sürekli kesri [3; 7]'de kesersek, $\pi$ için 22/7 = 3,1428571 bilinen rasyonel yaklaşımını elde ederiz. İki terimi daha tutarsak [3; 7,15,1] = 355/113 = 3,1415929 olur; ve $\pi$ = 3,14159265 daha iyi bir yaklaşım. Bu yaklaşım erken dönemdeki Çinlilerce biliniyordu. İlk sekiz rasyonel yaklaşım şu şekildedir:

$\frac{3}{1}, \frac {22}{7}, \frac {333} {106}, \frac {355} {113}, \frac {103993} {33102}, \frac {104348} {33215}, \frac {208341} {66317}, \frac {312689} {99532}.$

Arşimet ve Karekök Üç

Belki de tarihte en sık konuşulan sorular arasında Arşimet'in $\pi$ değerini hesaplamak için kullandığı $\sqrt{3}$ yaklaşık değer hesabı yer alır. Arşimet bu hesap için $$\frac{1351}{780}>\sqrt{3}>\frac{265}{153}$$ eşitsizliğinden $\sqrt{3}=\frac{1351}{780}$ alıyor. Bu hesap konusunda Arşimet yeterli açıklama yapmadığından farklı tahminlerde bulunulmuştur.


Kullanılan yöntem her ne olursa olsun, $\sqrt{3}$ sayısının sürekli kesir açılımının kullanıldığı açıktır (ki bu da $x^2-3y^2=1$ Pell denklemi ile yakından ilişkilidir. Çünkü doğal olarak 3 'ten çok az büyük $(x/y)^2$ rasyonel tamkaresini arıyorsak bu $x^2$ tamsayısının çok az $3y^2$ tamsayısından büyük olması anlamına gelir). Aksi takdirde en iyi olasılık olan $\frac{1351}{780}$ ve $\frac{265}{153}$ tamkare kesirlerine nasıl ulaştıklarını açıklamak gerçekten zor olur. Fakat yine de Yunanlılar bu hesabı yapması için açık bir sürekli kesir algoritması gerekli tüm uzun bölmelerden dolayı zor sayılır.

Yunanlılar tarafından kullanılmış olabilecek olası bir yöntem şu olabilir: A sayısının kare kökü $\sqrt{A}=N+r$ olacak şekilde tamsayı ve kalan kısımlarına ayrılabilir. Burada N tamsayısı $N^2$ sayısı A sayısından küçük olacak şekilde alınan en büyük tamsayıdır. r'nin değeri $$s_{n}=2Ns_{n-1}+(A-N^2)s_{n-2}$$ yineleme formülüne dayanan tamsayı toplama ve çarpma işlemleri yardımıyla istenen kesinlikte yaklaşık hesaplanabilir.