Bir sürekli kesri n düzeyinde parçalayarak elde edilen rasyonel kesirlere, sürekli kesrin yakınsakları denir. Bunları $p_ n/q_ n$ olarak belirtiriz. n arttıkça, irrasyonel bir x ile yakınsağı arasındaki fark,
$\left | x- \frac{p_ n}{q_ n} \right | \Rightarrow 0$
ne kadar çabuk azalır?Sürekli kesir açılımı, rasyonel bir kesirle ne kadar kolaylıkla ölçülebildiğine göre, irrasyonel bir sayının basitliğini ölçmemize izin verir. $\Phi -1 = (\sqrt {5} -1) / 2 $ sayısı bu anlamda sayıların "en irrasyonel" olanıdır; hepsinin en yavaş olanını rasyonel bir kesre çevirir, çünkü tüm $ a_ i $'ler $ 1$'e eşittir, mümkün olan en düşük değer. Aslında Lagrange, herhangi bir irrasyonel sayı x için,
$ \left | x- \frac {p}{q} \right | < \frac{1}{q^2 \sqrt{5}} $
eşitsizliğini sağlayan, $\sqrt{5}$'in daha büyük bir sayı ile değiştirilirse ifadenin yanlış hale geldiği, sonsuz sayıda p/q rasyonel yaklaşımlarının bulunduğunu gösterdi. Sürekli kesir açılımıyla sağlanan $ (\sqrt {5} -1) / 2 $'ye rasyonel yaklaşımlar söz konusu olduğunda, bunlar $ p_ n / q_ n = 0 / 1,1 / 1,1 / 2,2 / 3, 3 / 5,5 / 8, \ldots , n \rightarrow \infty$ için, olur ve
$\left | x- \frac {p_ n} {q_ n} \right | \Rightarrow \frac1 {q ^ 2 \sqrt {5}}, n \rightarrow \infty$
ile önceki denklem tarafından izin verilen en yakın yakınsaklık oranına sahiptirler.Böylece sürekli kesir açılımı, altın oranın rasyonel sayılardan başka herhangi bir irrasyonel sayıdan daha uzakta kaldığını gösterir. Dahası, herhangi bir sayısın sürekli kesir açılımını keserek üretilen rasyonel yaklaşmanın paydası aşağıdaki eşitsizliği sağlar:
$q_k \geq 2 ^ {(k-1) / 2} $
Eğer sürekli kesir açılımı sınırlı ise, k sadece genişlemenin sonuna kadar uzanacaktır. Aslında, rasyonel yaklaşımın doğruluğunu $q_i$ paydaları cinsinden, her iki yönden
$\frac{1}{q_ k (q_ {k + 1} + q_ k )} <\left | x- \frac {p_ n} {q_ n} \right | <\frac1 {q_ kq_ {k + 1}}$
ile açıkça belirlemek mümkündür.Sürekli kesir açılımlarının diğer ilginç özellikleri vardır, ancak, tüm sayıların sürekli kesir açılımları dilediğiniz şekilde davrandığından, sayıların sürekli kesir açılımları arasında çok güçlü özelliklerin veya desenlerin olamayacağı düşünülebilirdi. İstediğiniz herhangi bir sonlu veya sonsuz tam sayı listesini seçin, bunlar, bir ve bir tek sayının $a_ n$ kalanlarını oluşturacaktır. Tersine, seçeceğiniz herhangi bir gerçek sayı, kendi sürekli kesir açılımını oluşturan bir tek sonlu veya sonsuz sayıda tam sayı listesini içine alan sürekli kesir açılımına sahip olacaktır. Genel özellikler aramak umutsuz görünüyor. Adlandırmak istediğiniz herhangi bir dizi özellik ile tam sayıların bir listesini seçin (sonlu veya sonsuz), yine bir sayının sürekli kesir açılımını oluşturacaktır. Bununla birlikte, bu doğru olmasına rağmen, araştırmamızı hemen hemen (ae) gerçek herhangi bir sayının sürekli kesir açılımı özelliklerine kısıtlarsak - yani gerçek sayılardan rastgele seçilme ihtimali sıfır olan bir dizi 'özel sayıyı' atlarsak- o zaman tüm sürekli kesir açılımları tarafından paylaşılan olağanüstü genel özellikler vardır.