Levy Sabiti

Paul Lévy, hemen hemen her sürekli kesir genişlemesine dikkat ettiğimizde, rasyonel yakınsaklar hakkında eşit derecede şaşırtıcı ve genel bir şey söyleyebileceğimizi göstermiştir. Gerçel sayılara rasyonel yaklaşımların$\ n$ arttıkça $q_n^{-2}$ ifadesinin sabit bir katı şeklinde arttığını zaten 21-24 denklemlerinde görmüştük. Hemen hemen her sayı için$\ n$ arttıkça karşılık gelen $q_n$ değerinin üstel olarak o kadar hızlı bir şekilde artamayacağı gösterilebilir (Bir A pozitif sayısı için,$\ n\rightarrow \infty $ iken $\ q_n <e^{An}$). Lévy, temel bir sabit ile belirlenecek gerçek büyüme oranını ayırdı, böylece hemen hemen her gerçel sayının $$\ n \rightarrow \infty, \; q_n^{1/n} \rightarrow L $$ sürekli kesir açılımındaki bölümlerin paydaları için, L Levy sabiti olmak üzere, $$\ L=\exp \{\frac{\pi^2}{12 \ln{2}} \}=3.2758229187 \ldots$$ olduğu bulunur.

Rasyonel Yaklaşımlar

Sürekli kesirler sayılar alanında başka türlü gizli bir düzeni araştırmamızı sağlar. Eğer $\Phi  (0,61803 \ldots)$ sayısının ondalık kısmını veya hatta ikili tabanda ($0,100111 \ldots$) yazmış olsaydık, oldukça sıradan olmayan bir sayı görünürdü. Yalnızca sürekli kesir olarak yazıldığında, benzersiz durumu ortaya çıkıyor.

Bir sürekli kesri n düzeyinde parçalayarak elde edilen rasyonel kesirlere, sürekli kesrin yakınsakları denir. Bunları $p_ n/q_ n$ olarak belirtiriz. n arttıkça, irrasyonel bir x ile yakınsağı arasındaki fark,

$\left | x- \frac{p_ n}{q_ n} \right | \Rightarrow 0$

ne kadar çabuk azalır?