Kaotik Sayılar

Hemen hemen her gerçel sayıdan sonsuz sürekli kesir açılımı (ska) bölümleri üretme işlemi kaotik bir süreçtir. Genişletmek istediğimiz sayı u₁ olsun ve tam sayı kısmı k, kesir kısmı x₁ olmak üzere
$$u_1=k+x_1$$
şeklinde ayırırız.
Bazen tam kısmını almak üzere k=[u] yazarız, mesela [$\pi$]=3, [e]=2. Şimdi, $\pi$ gibi bir sayı ile başlarsak, ilk k₁ bölümü sadece [$\pi$]=3 olur ve kesir kısmı da x₁=0,141592. Sonraki bölüm
$$k_2=[1/x_1]=[1/0,141592...]=[7,0625459...]=7$$
kesir kısmının tam sayı kısmı olur; sonraki kesir kısmı $x_2=0,0625459...$ ve böylece
$$k_3=[1/x_2]=[1/0,0625459...]=[15,988488...]=15$$
olur. Bu basit süreç daha önce verdiğimiz $\pi$'nin ilk birkaç bölümünü verir. Kesir kısımlar her zaman 0 ile 1 arasında gerçel sayılardır. 0 ve 1'e eşit olamazlar, aksi halde ya u₁ sayısı bir rasyonel kesir olur ya da ska sonlu olurdu. Ardışık kesir kısımları üretme süreci aşağıdaki doğrusal olmayan fark denklemi ile verilir:
$$x_{n+1}=T(x_n)=1/x_n-[1/x_n].$$

T(x) fonksiyonu sonsuz sayıda hiperbolik koldan oluşur.

Bu dönüşümü defalarca uygularsak x sayısının çıktı değerleri ilk olarak Gauss tarafından bulunan özel bir olasılık dağılımına yakınsarlar:
$$p(x)=1/{(1+x)ln2}$$