Fibonacci: Altın Büyüme

Botanikçiler bitkilerin, meristem adı verilen büyüyen bitkinin tepesinde bulunan bir grup hücreden büyüdüklerini gösterdiler. Her dalda büyümeyi devam ettiren meristem dokular mevcuttur. Bir kere oluştumu bitki boyut olarak büyür ama yeni hücreler sadece bu büyüme noktalarında oluşur. Gövdenin altında kalan hücreler genişledikçe meristem yükselir. Bu hücreler aynı zamanda spiral yaparak büyürler: meristem sanki dönüyormuş gibi görünür, yeni bir hücre oluşur, meristem belli bir açıyla diğer yeni hücreleri oluşturur ve böylece devam eder. Bu hücreler daha sonra tohum, yaprak, dal veya çiçek üzerinde taç yaprak ve ercik halini alırlar.

Şekilde yapraklar oluşma sırasına göre numaralandırılmıştır. Her biri öncekine göre saat yönünde bir tam dönüşün 0,618 katı dönüşle (222,5 derece) yerleşmiştir.

İlginç olan şu ki bitki ne kadar büyürse büyüsün tek bir sabit dönme açısı optimal deseni oluşturabilir. Tek bir açı dönüşünün tekdüze dizilim üretmesi prensibi yüzyılın başına kadar şüpheyle karşılanıyordu fakat 1993'de iki Fransız matematikçi, Stephane Douady ve Yves Couder, matematiksel olarak ispatladılar. Evet tam bir dönüşün 0,618 katı dönüşle yeni hücre oluşumu optimal dizilimi gerçekleştirmektedir, ama nereden geliyor bu 0,618 sayısı?


Eğer Fibonacci dizisinin ardışık iki terimini alırsanız küçük olanın büyüğe oranı aşağıdaki sayıları verecektir: $$1/1=1, 2/1=2, 3/2=1,5, 5/3=1,66..., 8/5=1,6, 13/8=1,625, 21/13=1,6153...$$ Eğer bunlarla bir grafik çizerseniz bu sayıların Altın Oran (Kesim) denen sayıya yakınsadıklarını görürsünüz.

Değeri tam olarak $(\sqrt{5}+1)/2$ olup genelde Phi denen Yunan alfabesi harfi $\Phi$ ile gösterilir. Bununla yakından alakalı olan ve sadece ondalık kısmı 0,618034... ($(\sqrt{5}-1)/2$) sayısını ise Phi sayısının küçük harfi phi ($\phi$) ile gösteririz. Bu sayı tohum başlarında spiraller için ve birçok bitkide yaprakların dizilişi için hesaplanır.

Peki neden bu sayı? Eğer bu sayı yerine, mesela 1/2 oranı ile dönüş olayı gerçekleşseydi ne olurdu? İki dönüşten sonra ilk üretilen tohumla aynı hizaya gelirdik ve zamanla tek noktadan çıkan iki kollu bir tohum başına sahip olurduk, arkada kullanılmayan bir sürü boş alan bırakarak.

1/2 oranı ile dönüş sonucu oluşan tohum başı

12/25 oranı ile oluşan iki spiral kollu tohum başı

3/5 oranı ile oluşan beş doğrusal kollu tohum başı

$\pi$ oranı ile oluşan yedi spiral kollu tohum başı

Diğer basit kesirler için de benzer dizilimler olacaktır: aralarında büyük boşlukların olduğu tohum başları. Dolayısıyla basit kesir yerine irrasyonel bir sayı daha uygun görünüyor. Fakat bu tam doğru değil. Mesela $\pi$ sayısı alındığında yedi spiral kollu (burada yedi sayısı $\pi$ sayısının çok iyi bir rasyonel yaklaşımı olan 22/7 sayısından geliyor) bir tohum başı oluşuyor ki hala çok boşluk bulunuyor.

Sonuç olarak kullanılacak oranın bir rasyonel sayı ile çok iyi derecede yaklaşımının yapılamaması gereksiz boşluğun önüne geçecektir: $\Phi$ sayısı ve ondalık kısmı olan $\phi$ sayısı tüm irrasyonel sayılar içinde "en irrasyonel" olanlardır. Bu neden Fibonacci dizisinin optimal dizilimlerde yer aldığının güzel bir açıklamasıdır. Birçok bitkinin bu güzel ve kullanışlı sayıyı nasıl keşfettikleri konusu ise matematiğin dışında kalmaktadır.