Ramanujan'ın Bir Hilesi

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/
PictDisplay/Ramanujan.html

Muhteşem Hintli matematikçi Srinivasa Ramanujan (1887-1920) rakamlarla ve onların birbirleriyle olan ilişkileri hakkındaki anlaşılmaz sezgisiyle ünlüdür. Geçmiş yüzyılların matematikçileri gibi çarpıcı formüllere meraklıydı ve (görünüşte hiç yoktan) olağanüstü doğru yaklaşımları ortaya çıkarmaktan haz duyardı ($2^{10} \approx 10^3$ olduğunu gösterebilir misiniz?). Ramanujan özellikle sürekli kesirleri severdi ve özelliklerine dair sıradışı bir bilgiye sahipti. Bunu bilen biri, onun alışılmadık yaklaşım formüllerinden birine nasıl ulaştığını görebilir. Bazı irrasyonel sayıların, sürekli kesir açılımlarının ilk birkaç teriminde çok büyük bir bölüm ürettiğinde, bu irrasyonellere son derece doğru bir yaklaşım üretmek için rasyonal hale getirilebileceğini biliyordu. Ramanujan'ın $\pi $ değerine yaklaşımı buna güzel bir örnek sağlar:

$\pi \approx (\frac {2143} {22})^{\frac{1}{4}}$

Buna nasıl elde etti? Sürekli kesirlere duyduğu yakın ilgiyi bildiğimiz için $\pi^4$ sayısının sürekli kesir açılımı hakkında ilginç bir şeyler bildiğini tahmin edebiliriz. Nitekim ilginç bir bilgi var: $\pi^4$ sayısının sürekli kesir açılımının altıncı terimi oldukça büyüktür:
$\pi ^ 4 = [97; 2,2,3,1,16539,1, \ldots]$

16539 öncesi sürekli kesri kesmekle elde edilen  rasyonel yaklaşımı kullanarak $\ pi ^ 4$ değerine oldukça doğru bir yaklaşım elde edersiniz; şimdi dördüncü kökünü alın ve ta ta.

Ramanujan da diğer iç içe geçmiş genişleme varyeteleriyle ilgileniyordu. 1911'de Hint Matematik Derneği Dergisinde yayınlanan bir makalesinde, sonsuza kadar iç içe geçmiş bir kökün devam ettiği şu garip formülün değerinin ne olduğu sordu:
$?= \sqrt {1 + 2 \sqrt {1 + 3 \sqrt {1+ \ldots}}}$

Birkaç ay geçti ve hiç kimse bir cevap veremedi. Ramanujan, cevabın basitçe 3 olduğunu ve devam eden kökler için güzel bir genel formül olduğunu kanıtladı:
$ x + 1 = \sqrt {1 + x \sqrt {1+ (x + 1) \sqrt {1+ \ldots}}}$

Uygulamalı matematikçiler, Fonksiyonları Padé yaklaşımları olarak adlandırılan sürekli fonksiyon genişlemeleri ile yaklaştırarak, Taylor serisi açılımlarını kullanarak elde ettiklerinden çok daha doğru düşük dereceli yaklaşımlar elde edildiğini bulmuşlardır. Onları belirli sonlu sırada keserek, iki polinom oranı ile temsil edilen bir yaklaşımla sonuçlanır.