Pisagor Müzikal Gamları

Eski Pisagorcular, bir müzik aleti dizgesinin küçük tamsayılarca belirlenen bir oranla bölünmesinin çekici bir ilişki oluşturduğunu keşfettiler. Örneğin, bir yarım uzunluk, 2:1'lik bir frekans oranı verir (oktatonik dizi) ve üçte birlik bir uzunluk, 3:2'lik bir oran verir (pentatonik dizi), çeyrek uzunluk, 4:3'lük bir frekans oranı verir (tetratonik dizi) ve bir de 5:4 frekans oranı (majör üçte biri) var.

Şimdi Pisagor ölçeğinin nasıl bir araya geldiğini sorabiliriz. Örneğin, kaç majör üçte biri tam sayıdaki oktavlara eşittir, yani

$(\frac{5}{4})^b = 2^a$

eşitliği ne zaman sağlanır?

2 tabanında logaritmalar alınarak $\log _25 = 2 + a / b $ denkleminin bir çözümünü arıyoruz. Log, irrasyonel olduğu için a ve b tamsayıları için tam çözüm bulunamaz. Fakat "yaklaşık" çözümler vardır. Onları bulmak için sadece $\log_25$ = 2,3219 = [2; 3,9, ...] açılımına bakıyoruz. İlk kesirsel terimden sonrası kesildiğinde rasyonel yaklaşım $\log_25 \approx 2+ \frac{1}{3}$ olur, dolayısıyla problemin yaklaşık çözümü a = 1, b = 3 ve

$(\frac{5}{4})^3 = 1,95 \ldots \approx 2$

olur. Bir sonraki sürekli kesir yaklaşımını kullansaydık, a = 9, b = 28 elde ederdik ki bunu işlemek oldukça saçmadır.