Euler Projesi 285. Soru

Pisagor Olasılığı

Albert pozitif bir tam sayı k seçer, ardından tekdüze dağılımlı [0,1] aralığında rastgele iki reel sayı a, b seçilir. Daha sonra (k·a + 1)² + (k·b + 1)² toplamının karekökü hesaplanır ve en yakın tam sayıya yuvarlanır. Sonuç k'ye eşitse, Albert k puan alır; aksi takdirde hiçbir puan almaz.

Örneğin, k = 6, a = 0,2 ve b = 0,85 ise, (k·a + 1)² + (k·b + 1)² = 42,05.

42,05'in karekökü 6,484'tür ... ve en yakın tam sayıya yuvarlandığında 6 olur.

Bu k'ye eşittir, bu yüzden 6 puan alır.

k = 1, k = 2, ..., k = 10 ile 10 tur oynarsa, beş ondalık basamağa yuvarlanmış toplam puanının beklenen değerinin 10,20914 olduğu gösterilebilir.

k = 1, k = 2, k = 3, ..., k = 105 ile 105 tur oynarsa, beş ondalık basamağa yuvarlanan toplam puanının beklenen değeri kaçtır?

Pisagor ve Hipotenüs

 

İkinci Dereceden Denklemlerin 100 Kullanımı: Yunanlar

Şimdi 1000 yıl geriye antik Yunana doğru gidiyoruz ve ikinci dereceden denklemlerden nasıl faydalandıklarını görüyoruz. Yunanlar süper matematikçilerdi ve bugün hala kullandığımız matematiği büyük oranda keşfetmişlerdi. Çözmeye çalıştıkları denklemlerden biri basit bir ikinci dereceden denklemdi: $x^2=1.$

Bu denklemin bir çözümü olduğunu biliyorlardı. Aslında bu, bir birim kenarlara sahip bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğuydu.

Pisagor denkleminde kısa kenar uzunlukları 1 alınırsa hipotenüs uzunluğu c=x=$\sqrt{2}$ olarak bulunur.

Bu durumda x nedir, ya da Yunanların sordukları şekliyle, x ne tür bir sayıdır? Bunun sebebi Yunanların oran anlayışından kaynaklanmaktadır. Onların inanışına göre her sayı birbiriyle orantılıdır. Daha kesin bir ifadeyle a ve b tam sayı olmak üzere her sayı a/b şeklinde bir kesirdir. Dolayısıyla $\sqrt{2}$ de bir kesir olmalıdır. Ama olmadığını anlamak büyük bir şaşkınlıktı. Gerçekte $\sqrt{2}$ sayısının ondalık açılımında virgülden sonraki basamaklar sonsuza kadar düzensiz olarak sürmekteydi.

Akıllara Durgunluk Veren 10 Denklem - 2

4. Sürekliliğin (Continuum) Kardinalitesi: $$\Large \mathbb{R} \sim 2^{\mathbb{N}}$$Bunun anlamı, reel sayıların kardinalitesinin doğal sayılar kuvvet kümesinin kardinalitesine eşit olduğudur. Bu ifade küme kuramının kurucusu Georg Cantor tarafından gösterildi. Sayılamaz bir süreklilik ifade etmesi açısından kayda değerdir.

Pisagor Müzikal Gamları

Eski Pisagorcular, bir müzik aleti dizgesinin küçük tamsayılarca belirlenen bir oranla bölünmesinin çekici bir ilişki oluşturduğunu keşfettiler. Örneğin, bir yarım uzunluk, 2:1'lik bir frekans oranı verir (oktatonik dizi) ve üçte birlik bir uzunluk, 3:2'lik bir oran verir (pentatonik dizi), çeyrek uzunluk, 4:3'lük bir frekans oranı verir (tetratonik dizi) ve bir de 5:4 frekans oranı (majör üçte biri) var.

Şimdi Pisagor ölçeğinin nasıl bir araya geldiğini sorabiliriz. Örneğin, kaç majör üçte biri tam sayıdaki oktavlara eşittir, yani

$(\frac{5}{4})^b = 2^a$

eşitliği ne zaman sağlanır?

Matematiksel Hazine: James A. Garfield'ın Pisagor Teoremi İspatı

James A. Garfield ABD'nin 20. başkanıdır. Yüzlerce ispatına ek olarak Pisagor teoremine orijinal bir ispat yapmıştır. Garfield ispatını 1876 yılında bir kongre üyesi ile birlikte yapmıştır. Çoğu orta seviye öğrencinin anlamakta zorlandığı ispatta verilen şekil bir köprüyü anımsattığından "Ahmaklar Köprüsü" olarak bilinir.

Garfield'ın Pisagor Teoremi ispatı tabanları a ve b birim ve yüksekliği a+b birim olan bir yamuk şeklini içeriyor. Yamuğun alanına farklı iki şekilde yaklaşarak bunların eşitliğini kullanmıştır: