Khinchin Sabiti

MacTutor History

Daha sonra Rus matematikçi Aleksandr Khinchin (1894-1959) hemen hemen her sürekli kesir açılımının (ska) katsayıları hakkında üçüncü çarpıcı sonucu kanıtladı. Her ne kadar $k_ i $'nin aritmetik ortalaması sonlu bir değere sahip olmasa da geometrik ortalaması sahiptir. Gerçekten de hemen hemen her gerçel sayının ska'ları için evrensel olan sonlu bir değere sahiptir.
$$n\rightarrow \infty, \; (k_1k_2k_3 \ldots k_n)^{1/n} \rightarrow \kappa$$
olduğunu gösterdi.
Khinchin sabiti $\kappa$, yavaş yakınsayan sonsuz bir çarpımla verilir:
$$\kappa = \prod_{k = 1}^ \infty \{1+ \frac{1}{k(k + 2)} \}^{\ln{k} / \ln{2}} = 2.68545 \ldots $$
Bu nedenle, geometrik ortalama bölüm değeri yaklaşık 2,68 dir ve olasılık dağılımında gördüğümüz küçük değerlerin baskınlığını yansıtır. Yine, bu değere $\pi $'nın bölümleri ile ne kadar yaklaşıldığını görmek ilginçtir.

$k=1,2,3, \ldots $ farklı değerlerinin görünümünü listelersek, örneğin $\pi $'nin ska'sındaki ilk 100 terim arasından, o halde azalan görünüm sırasına göre $k$ değerleri ve onların $N(k)$ frekansları aşağıdaki gibidir:

k	2	2	3	4	5	6	7	8	15	10	12	13	14	16	22	24	45	84	99	161	292
N(k)	41	22	7	4	2	5	3	2	2	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

k'nınküçük değerleri için P(k)'nın tahmini değerlerine oldukça iyi bir yaklaşımın söz konusu olduğunu görüyoruz. Geometrik ortalamayı hesaplarsak bu durumda Khinchin sabitine daha iyi bir yaklaşımda bulunuruz,
$$(k_1k_2k_3 \ldots k_{100})^{1/{100}} = 2.6831468$$
Özel olarak Khinchin sabitinin kendisinin ska'sını hesaplarsak, terim sayısı sonsuza yaklaştıkça terimlerinin geometrik ortalamasının Khinchin sabitine yakınsadığını göreceksiniz.

[PlusMagazine]