Khinchin Sabiti

MacTutor History

Daha sonra Rus matematikçi Aleksandr Khinchin (1894-1959) hemen hemen her sürekli kesir açılımının (ska) katsayıları hakkında üçüncü çarpıcı sonucu kanıtladı. Her ne kadar $k_ i $'nin aritmetik ortalaması sonlu bir değere sahip olmasa da geometrik ortalaması sahiptir. Gerçekten de hemen hemen her gerçel sayının ska'ları için evrensel olan sonlu bir değere sahiptir.
$$n\rightarrow \infty, \; (k_1k_2k_3 \ldots k_n)^{1/n} \rightarrow \kappa$$
olduğunu gösterdi.
Khinchin sabiti $\kappa$, yavaş yakınsayan sonsuz bir çarpımla verilir:
$$\kappa = \prod_{k = 1}^ \infty \{1+ \frac{1}{k(k + 2)} \}^{\ln{k} / \ln{2}} = 2.68545 \ldots $$
Bu nedenle, geometrik ortalama bölüm değeri yaklaşık 2,68 dir ve olasılık dağılımında gördüğümüz küçük değerlerin baskınlığını yansıtır. Yine, bu değere $\pi $'nın bölümleri ile ne kadar yaklaşıldığını görmek ilginçtir.