Bir dikdörtgeni alıp ardından dikdörtgenin kısa kenarı ile aynı kenar uzunluğundaki bir kareyi dikdörtgenden çıkaralım. Dikdörtgenin uzun kenarı 1 uzunluğa ve kısa kenarı $x$ uzunluğa sahipse kare $x$ uzunluğundaki kenarlara sahiptir. Kalan dikdörtgenin uzun kenarı $x$ ve kısa kenarı $1-x$ olur. Şimdiye kadar çok soyut. Ancak Yunanlılar, en estetik oranlara sahip olan (Altın Dikdörtgen adı verilen) dikdörtgenin bu olduğuna inanıyorlardı, çünkü büyük ve küçük dikdörtgenlerin aynı kenar uzunluğu oranlarına sahipti. Bunun mümkün olması için şu gerekir:$$\frac{x}{1} =\frac{1-x}{x} \, \textrm{veya} \, x^2+x=1.$$Bu ise başka bir ikinci dereceden denklemdir: Çok sayıda uygulamada geçen önemli bir denklem. (Pozitif) çözümü şudur:$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=0.61803....$$Burada $x$ sayısına altın oran adı verilir ve $\phi$ ile gösterilir.
Altın Dikdörtgen, özellikle Gürcü evlerinde, pencere şeklinde görülebilir. Daha yakın bir zamanda Altın Oran, fotoğraflar ve film görüntüleri için "mükemmel şekil" olarak da bulunabilir. İkinci dereceden $x^2+x=1$ denklemi, tavşan popülasyonlarının çalışmalarında ve ayçiçeği çekirdeklerinin ve bitki saplarındaki yaprakların sıralanış düzenlerinde ortaya çıkar. Bunların hepsi aşağıdaki Fibonacci dizisi vasıtasıyla Altın Orana bağlanır: $$1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144, ....$$
Bu dizideki her terim önceki iki terimin toplamıdır. Fibonacci bunu 15. yy'da tavşan popülasyonlarını tahmin ederken bulmuştur. Eğer her bir terimin sonraki terime oranını alırsanız aşağıdaki diziyi elde edersiniz:$$1/1,1/2,2/3,3/5,5/8,8/13,... \, \textrm{veya}\, 1;0,5;0,66667;0,6;0,625;0,61538;...$$Bu sayılar da ilerledikçe Altın Oran değerine yaklaşırlar.
Yukarıdaki ikinci dereceden denklemin her iki kökünü bularak aslında Fibonacci dizisinin n. terimini bulmak için bir yol türetebiliriz. $F_0=1,F_1=1$ ve $F_n$ dizinin n. terimi olmak üzere ilgili formül elde edilir:$$F_n=\frac{(1/\phi)^n+\phi ^2(-\phi)^n}{1+\phi ^2}.$$
