Yumurta Denklemi ve Grafiği

 

Yandaki grafik Google'da Chrome kullanılarak "1.2+(sqrt(1-(sqrt(x^2+y^2))^2) + 1 – x^2-y^2) * (sin (10000 * (x*3+y/5+7))+1/4) from -1.6 to 1.6" metninin aranması sonucu elde edilmiştir. Kendiniz de deneyebilirsiniz.

Müzik Grupları Grafikleri

 

AC/DC şeklinin yine Wolfram kullanılarak parametrik denklemle oluşturulmuş grafiği:

Çiçek Denklemi ve Grafiği - 2

 

Yandaki grafik Google'da Chrome kullanılarak "z=sqrt(x*x+y*y)+3*cos(sqrt(x*x+y*y))+5 from -20 to 20" metninin aranması sonucu elde edilmiştir. Kendiniz de deneyebilirsiniz.

Çiçek Denklemi ve Grafiği

 

Yandaki grafik Google'da Chrome kullanılarak "100-3/(sqrt(x^2+y^2))+sin(sqrt(x^2+y^2))+sqrt(200-(x^2+y^2)+10*sin(x)+10sin(y))/1000, x is from -15 to 15, y is from -15 to 15, z is from 90 to 101" metninin aranması sonucu elde edilmiştir. Kendiniz de deneyebilirsiniz.

Kurgusal Karakter Grafikleri - Aang

 

Hava büken Aang karakterinin Math Wolfram kullanılarak oluşturulmuş grafiği ve denklemi de parametrik olarak şu şekilde verilmiştir:

Kalp Denklemi ve Grafiği

 

Yandaki grafik Google'da Chrome kullanılarak "5 + (-sqrt(1-x^2-(y-abs(x))^2))*cos(30*((1-x^2-(y-abs(x))^2))), x is from -1 to 1, y is from -1 to 1.5, z is from 1 to 6" metninin aranması sonucu elde edilmiştir. Kendiniz de deneyebilirsiniz.

İkinci Dereceden Denklemlerin 101 Kullanımı: Kuadratik Kaos

Belirli bir böcek türünün popülasyonunun yıldan yıla nasıl değiştiğiyle ilgilenen bir biyolog veya ekolojist olduğunuzu hayal edin. Bazı böceklerin yılda yalnızca bir jenerasyonu vardır ve basit bir model, gelecek yıldaki nüfusun yalnızca mevcut yıldaki nüfusa bağlı olacağını varsayar. Yani, $x_n$, $n$ yılının popülasyonuysa $x_{n + 1}$, $x_n$'nin bir fonksiyonu olacaktır.

Çok basit bir model bir oranın, yani $ax_n$'nin başarılı bir şekilde ürediğini ve $bx_n^2$'nin aşırı kalabalıktan öldüğünü varsayar. Denklemleri basitleştirmek üzere bir sabit sayı $r> 0$ ve başlangıç ​​popülasyonu $x_1$ için aşağıdaki ikinci dereceden denklemi elde etmek üzere koordinatları yeniden ölçeklendirebiliriz:$$x_{n + 1} = rx_n (1-x_n)$$Kesin olarak söylemek gerekirse $r$ sabitiyle etiketlenen bütün bir ikinci dereceden denklem ailesi tanımladık. Bu ailenin her bir üyesi lojistik harita olarak bilinir.

İkinci Dereceden Denklemlerin 100 Kullanımı: Cep Telefonları

Karmaşık bir ikinci dereceden denklemin cep telefonlarıyla ilgisi nedir? Durup bir an için bir sayının karesini aldığımızda ne olacağını düşünelim: Yani x'i alıp $x^2$'yi hesaplayalım. Fark edeceğimiz şey, x için hangi değeri alırsak alalım $x^2$'nin her zaman negatif olmadığıdır. Sonuç olarak $x^2=-1$'in bir çözümü olamaz. Matematikçilerin bu problemle başa çıkma yolu hilelidir ve varlık açısından bir çözüm tanımlamaktır! $i$ harfi $$x^2=-1$$ dekleminin bir çözümünü temsil etmek için kullanılır, dolayısıyla $i^2=-1$. Yani, $i$ gerçek bir sayı olamaz ve bu nedenle buna sanal sayı denir. $$(-i)^2 = -1 \times i \times -1 \times i = i\times i = -1$$ eşitliğine de dikkat edin. Yani $x = -i$ aynı zamanda $x ^ 2 = -1$ denkleminin bir çözümüdür.

Çözülmüş En Zor Matematik Problemleri - 1

Onlarca yıl matematikçileri zorlayan bir matematik bulmacası nihayet çözüldü. Buna Diophantine Denklemi denir ve bazen “üç küpün toplaması” olarak da bilinir: x, y ve z'yi bulun, öyle ki her k için 1'den 100'e kadar x³ + y³ + z³ = k olsun.

Görünüşte kolay. x, y ve z tamsayıları düşünebilir misiniz öyle ki x³ + y³ + z³ = 8 olsun? Elbette. Bir cevap x = 1, y = -1 ve z = 2'dir. Peki x³ + y³ + z³ = 42 için ne dersiniz?

İkinci Dereceden Denklemlerin 100 Kullanımı: Newton - 1

Newton, Galileo'nun öldüğü yılda doğdu ve bilimi ve matematiğin bilimsel öngörülebilirlikte oynadığı rolü anlama yolumuzu oluşturmaya devam etti. Newton, hem Galileo'nun hem de Kepler'in çalışmalarından ilham aldı. Bu bilimsel devler, dinamik ve gök mekaniği olaylarını doğru bir şekilde tanımlamışlardı; ancak ikisi de bilimsel açıklamaları formüle etmemişti. Gözlemledikleri fenomenin matematiksel açıklamasını sağlamak Newton'a kalmıştı.

İlk olarak Galileo'nun gözlemlerini açıklayan üç hareket yasasını formüle etti. İkinci olarak iki kütlenin, aralarındaki mesafenin karesiyle ters orantılı bir kuvvetle birbirlerine doğru çekildiği temel kütle çekim yasasını tanımladı. Geometrik argümanları kullanarak böyle bir kuvvet yasasının, gezegenlerin bir konik şeklinde güneşin etrafında hareket etmesi gerektiğine işaret ettiğini kanıtladı. (Elbette, ters kare yasasının bilinen eğrilerle açıklanabilecek yörüngelere yol açması muazzam bir şanstı!) Newton ayrıca optik alanında da çalıştı ve Galileo'nun kullandığı teleskopların (lenslere dayalı olarak) farklı renklerde ışıkların farklı şekillerde kırılmasıyla sorunlara neden olmuştur. Bir aynaya dayanan bir teleskop tasarlayarak bunu aştı. Tüm noktaları odakta toplamak üzere aynanın alabileceği en iyi şekil, daha önce gördüğümüz yansıtıcı teleskopları doğuran parabolden başka bir şey değildi.

İkinci Dereceden Denklemlerin 100 Kullanımı: Altın Oran

Bir dikdörtgeni alıp ardından dikdörtgenin kısa kenarı ile aynı kenar uzunluğundaki bir kareyi dikdörtgenden çıkaralım. Dikdörtgenin uzun kenarı 1 uzunluğa ve kısa kenarı $x$ uzunluğa sahipse kare $x$ uzunluğundaki kenarlara sahiptir. Kalan dikdörtgenin uzun kenarı $x$ ve kısa kenarı $1-x$ olur. Şimdiye kadar çok soyut. Ancak Yunanlılar, en estetik oranlara sahip olan (Altın Dikdörtgen adı verilen) dikdörtgenin bu olduğuna inanıyorlardı, çünkü büyük ve küçük dikdörtgenlerin aynı kenar uzunluğu oranlarına sahipti. Bunun mümkün olması için şu gerekir:$$\frac{x}{1} =\frac{1-x}{x} \, \textrm{veya} \, x^2+x=1.$$Bu ise başka bir ikinci dereceden denklemdir: Çok sayıda uygulamada geçen önemli bir denklem. (Pozitif) çözümü şudur:$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{2}=0.61803....$$Burada $x$ sayısına altın oran adı verilir ve $\phi$ ile gösterilir.

Ted-ed: Michael Jordan’ın Efsanevi Havada Kalma Süresinin Ardındaki Matematik

Michael Jordan'ın serbest atış çizgisinden başlayan efsanevi smacı sadece asılı kalma süresi olarak 0,92 saniye hesaplandı. Fakat Jordan aynı atışı Mars'ta yapsaydı, bu süre ne olurdu? Veya Jüpiter? Andy Peterson ve Zack Patterson, asılı kalma süresinin ardındaki matematik denklemini paylaşıyorlar.

Dersin tamamı için: http://ed.ted.com/lessons/the-math-behind-michael-jordan-s-legendary-hang-time-andy-peterson-and-zack-patterson

İkinci Dereceden Denklemlerin 100 Kullanımı: Avrupa'da Kağıt Boyları

Anlaşılmaz bir sayı olmasına karşın $\sqrt{2}$ ile çok sık karşılaşırız: A4 kağıt kullandığımız her an. Avrupa'da kağıt boyları A ölçüleriyle belirtilir, en büyük olan A0 boyutlu kağıt 1 metre karedir. A ölçüleri arasında bir ilişki vardır. Bir A1 kağıdını tam ortadan ikiye katlarsak A2 kağıdını, A2 kağıdını ikiye katlarsak A3 kağıdını ve benzer yolla A4 ve A5 ölçülü kağıtları elde ederiz. Ancak bu kağıtlar her zaman aynı orantıda olacak şekilde düzenlenmiştir.

Peki hangi oranda diye sorabiliriz: Kenar uzunlukları x ve y (x > y) olacak şekilde bir kağıt alalım. Şimdi bunu kenar uzunlukları y ve x/2 olacak şekilde ikiye bölelim (y > x/2). Birinci kağıtta kenarlar oranı x/y iken ikinci kağıtta y/(x/2)=2y/x olur. Bu oranların eşit olmasını istiyoruz. Yani $$x/y=2y/x$$ ya da $$(x/y)^2=2.$$

İkinci Dereceden Denklemlerin 100 Kullanımı: Yunanlar

Şimdi 1000 yıl geriye antik Yunana doğru gidiyoruz ve ikinci dereceden denklemlerden nasıl faydalandıklarını görüyoruz. Yunanlar süper matematikçilerdi ve bugün hala kullandığımız matematiği büyük oranda keşfetmişlerdi. Çözmeye çalıştıkları denklemlerden biri basit bir ikinci dereceden denklemdi: $x^2=1.$

Bu denklemin bir çözümü olduğunu biliyorlardı. Aslında bu, bir birim kenarlara sahip bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğuydu.

Pisagor denkleminde kısa kenar uzunlukları 1 alınırsa hipotenüs uzunluğu c=x=$\sqrt{2}$ olarak bulunur.

Bu durumda x nedir, ya da Yunanların sordukları şekliyle, x ne tür bir sayıdır? Bunun sebebi Yunanların oran anlayışından kaynaklanmaktadır. Onların inanışına göre her sayı birbiriyle orantılıdır. Daha kesin bir ifadeyle a ve b tam sayı olmak üzere her sayı a/b şeklinde bir kesirdir. Dolayısıyla $\sqrt{2}$ de bir kesir olmalıdır. Ama olmadığını anlamak büyük bir şaşkınlıktı. Gerçekte $\sqrt{2}$ sayısının ondalık açılımında virgülden sonraki basamaklar sonsuza kadar düzensiz olarak sürmekteydi.

İkinci Dereceden Denklemlerin 100 Kullanımı: Babilliler - 2

Tabii tüm tarlalar kare değildir. Şimdi, çiftçinin sağda gösterildiği gibi iki üçgen kesitli daha garip şekilli bir tarlaya sahip olduğunu varsayalım. Uygun a ve b değerleri için çiftçinin bu alanda büyütebileceği ürün miktarı $$c=ax^2+bx$$ile verilir.

Kalp Deneyleri

Gerçek insan kalbiyle deney yapmak mümkün değildir, fakat insan kalbinin doğru matematiksel modelleriyle deney yapma, onun karmaşık süreçlerini anlamada yeni bir çığır açmıştır. Matematik ve bilgisayar, laboratuvarlarda yıllarca yapılan deneylerinin yerini alabilir. Örneğin matematik sayesinde kazanılan anlayış, yapay kapakçıkların tasarımını ve uygulamasını büyük ölçüde hızlandırır.

Hooke Kanunu'na dayanan denklemler, kas liflerini farklı esnekliklere sahip kapalı eğriler olarak temsil ederek kalbin geometrisini modeller. Tüm sıvı akışlarını açıklayan Navier-Stokes denklemleri, kalbin içindeki ve etrafındaki kan akışını modeller. Bununla birlikte kalbin şeklinin sürekli değişmesi gerçeği, denklemlerin çözülmesini genelde zorlaştırır ve denklem için kesin bir çözüm bulunamayabilir. Bu durumlarda ise yaklaşık çözümler bilgisayar tarafından üretilmektedir.

İkinci Dereceden Denklemlerin 100 Kullanımı: Babilliler

9 ile çarpım tablosunu içeren Babil çivi yazısı tabletleri

Her şey Babil'liler ile MÖ 3000 civarında başladı. Onlar dünyanın ilk medeniyetlerinden biriydi ve tarım, sulama ve yazı gibi bazı büyük fikirlerle ortaya çıktılar. Güneş'in, Ay'ın ve gezegenlerin yollarını çizdiler ve bunları kil tabletlerine kaydettiler (Britanya Müzesinde hala görebilirsiniz). Çemberin 360 derece olarak bölünme biçimi de dahil olmak üzere, modern açı fikirlerini Babillilere borçluyuz. Aynı zamanda (korkulan) vergi uzmanının daha az hoş bir icadı için borçluyuz. Ve bu, Babillerin ikinci dereceden denklemleri çözmek için ihtiyaç duydukları nedenlerden biriydi.

Akıllara Durgunluk Veren 10 Denklem - 3

8. Fibonacci Dizisinin Açık Formülü: $$\Large F(n)=\frac{(\varphi)^n-(-1/\varphi)^n}{\sqrt{5}}$$Burada $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ olup altın oran diye bilinir. Çoğu kimse okul yıllarından Fibonacci dizisini duymuştur (1,1,2,3,5,8,13,21,34,...ilk iki sayının toplamı sonraki sayı), ancak yukarıdaki açık formülü çoğu zaman verilmez. Buna göre örneğin 100. Fibonacci sayısını bulmak için ilk 99 sayıyı bulmanız gerekmez. Sadece formülde n yerine 100 yazarsınız. Tüm kareköklere ve bölmelere rağmen sonuç hep tam sayı olacaktır.

Akıllara Durgunluk Veren 10 Denklem - 2

4. Sürekliliğin (Continuum) Kardinalitesi: $$\Large \mathbb{R} \sim 2^{\mathbb{N}}$$Bunun anlamı, reel sayıların kardinalitesinin doğal sayılar kuvvet kümesinin kardinalitesine eşit olduğudur. Bu ifade küme kuramının kurucusu Georg Cantor tarafından gösterildi. Sayılamaz bir süreklilik ifade etmesi açısından kayda değerdir.

Çağatay'ın Tavukları

Çiftçi Çağatay'ın bir tavuk çiftliği var. Belirli bir gün Çağatay tavuk yeminin ne zaman biteceğini hesaplar. Tavuklarının 75 tanesini satarsa kalan yemle kalan tavukları 20 gün daha fazla besleyebileceğini bulur. Yok eğer 100 tavuk daha alırsa kalan yem 15 gün önce biter. Çağatay'ın çiftliğinde kaç tavuk var?