Muhteşem Fibonacci

Arılar yapıyor, tavşanlar yapıyor ve çok şükür biz insanlar da yapıyoruz: meşhur Fibonacci dizisini (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...) keşfediyoruz.

İlk olarak 12. yüzyılda Leonardo Fibonacci tarafından yavru tavşanlarla ilgili bir problemi çalışırken bulundu. Sonrasında ayçiçeklerindeki spirallerden arıların aile ağaçlarına kadar doğanın her köşesinde izlerine rastlandı. Bu dizinin önemi altın oran dene sayı ile olan ilişkisinden gelir. Altın oran ise matematiksel özelliklerinin ilginçliği ve güzellik anlayışımızla olan ilgisinden dolayı dikkat çekicidir.

Fibonacci dizisi en önemli sayı dizilerinden biridir. Yukarıda ilk terimleri verilen Fibonacci dizisi aslında ilk iki terimi 1 olan ve sonraki termleri önceki iki terimin toplamı olan dizi şeklinde tarif edilir:

2 = 1 + 1

3 = 1 + 2

5 = 2 + 3

8 = 3 + 5

...

Yani Fibonacci dizisinin sonsuz kadar olan terimlerini tahmin etmek oldukça kolaydır! Yukarıdaki Fibonacci dizisinde bir sonraki terim 55+89=144 olacaktır.

Nereden çıktı bu? Leonarda Fibonacci'nin adıyla anılan bu dizi ilginç bir problemin çözümü sırasında ortaya çıktı. Fibonacci ilkin iki yavru tavşan ile başladı, biri dişi biri erkek.

Bir ay sonra tamamen büyüdüler

ve tavşanlar bir ay sonra üreyerek (tekrar bir erkek bir dişi) iki yavru tavşan dünyaya getirdiler

Sonraki ay bu yavrular tamamen büyüdüler ve ilk çift de iki yavru tavşan (tekrar bir erkek bir dişi) daha dünyaya getirdiler.

Aynı soydan üremeyi yok sayarsak, sonraki ay iki yetişkin tavşan çifti tekrar birer çift yavru tavşan sahibi oldular ve önceki ay yavru olanlarda yetişkin oldular. 

Fibonacci varsayılan kabuller çerçevesinde (tavşanlar ölmüyor, tavşanlar her ay farklı türde iki yavru doğuruyor ve bu yavrular bir ayda yetişkin oluyor) bir yıl sonunda bir çift tavşandan kaç tavşan olur sorusunu irdeledi. Belirli bir aydaki yetişkin tavşan çifti sayısının bir önceki aydaki toplam tavşan sayısına eşit olduğunu gördü. n'inci aydaki yetişkin çift sayısını A_n ile ve n'inci aydaki toplam çift sayısını R_n ile gösterirsek
$$A_n=R_{n-1} \\$$ bulunur. Ayrıca belirli bir aydaki yavru tavşan çifti sayısının önceki aydaki yetişkin tavşan çifti sayısına eşit olduğunu farketti. n'inci aydaki yavru tavşan çifti sayısı B_n ise
$$B_n=A_{n-1}=R_{n-2}$$
olur. Bu nedenle belirli bir aydaki toplam tavşan çifti sayısı önceki iki aydaki tavşan çifti sayılarının toplamı kadardır:
$$R_n=A_n+B_n=R_{n-1}+R_{n-2}.$$
Böylece bir çift tavşan ile başlanırsa 12 ay sonra 144 çift tavşan ortaya çıkar.

Alıntı: https://plus.maths.org/content/fibonacci-sequence-brief-introduction