Euler Projesi 277. Soru

Uyarlanmış Bir Collatz Dizisi

Bir $a_1$ başlama değeri ile uyarlanmış bir Collatz dizisi aşağıdaki şekilde elde edilir:
$a_{n+1}=\frac{a_n}{3}$, eğer $a_n$ 3'ün katıysa. Bunu aşağı yönlü büyük bir "D" adımı olarak belirteceğiz.
$a_{n+1}=\frac{4a_{n}+2}{3}$, eğer $a_n$'nin 3'le bölümünden kalan 1 ise. Bunu yukarı yönlü bir "U" adımı olarak belirteceğiz.
$a_{n+1}=\frac{2a_{n}-1}{3}$, eğer $a_n$'nin 3'le bölümünden kalan 2 ise. Bunu aşağı yönlü küçük bir "U" adımı olarak belirteceğiz.
$a_n=1$ olduğunda ise dizi sonlanacak.
Herhangi bir tam sayı ile başlayıp adım dizisini oluşturabiliriz.
Örneğin $a_1=231$ ise dizi $(a_n)=\{231,77,51,17,11,7,10,14,9,3,1\}$ ve karşılık gelen adım dizisi "DdDddUUdDD" olur.
Elbette aynı "DdDddUUdDD" adım dizisi ile başlayan başka diziler de mevcuttur.
Örneğin $a_1=1004064$ ise adım dizisi "DdDddUUdDDDdUDUUUdDdUUDDDUdDD" olur.
Aslında  DdDddUUdDD ile başlayan olası en küçük $a_1>10^6$ sayısı 1004064'tür.

UDDDUdddDDUDDddDdDddDDUDDdUUDd ile başlayan olası en küçük $a_1>10^{15}$ sayısı kaçtır?

Euler Projesi 258. Soru

Gecikmeli Fibonacci Dizisi

Bu dizi aşağıdaki şekilde tanımlanıyor:

• g_k = 1, 0 ≤ k ≤ 1999 ise
• g_k = g_k-2000 + g_k-1999, k ≥ 2000 ise.

k = 10¹⁸ için g_k mod 20092010 değerini bulunuz.

Fibonacci Sayıları

Euler Projesi 220. Soru

Heighway Ejderhası

$D_0$, iki-harfli "Fa" harf dizisi olsun. $n\ge 1$ için, $D_n$ ifadesi $D_{n-1}$ ifadesinden aşağıdaki harf dönüşümleri kullanılarak yapılsın: $$"a"\rightarrow "aRbFR"$$ $$"b"\rightarrow "LFaLb".$$
Böylece $D_{0}="Fa"$, $D_{1}="FaRbFR"$, $D_{0}="FaRbFRRLFaLbFR"$, ... olur.
Bu diziler bir bilgisayar grafik programının yönergeleri olabilirler: Bir birim ileri çiz "F" ile, sola 90 derece dön "L" ile, sağa 90 derece dön "R" ile gösterilir ve "a" ve "b" boş geç demektir. Bilgisayar imlecinin başlangıç noktası (0,0) ve yönü (0,1) olsun.
Bu durumda $D_n$, n. sıradan Heighway Ejderhası olarak bilinen egzotik bir çizimdir. Örnek olarak $D_{10}$ aşağıda verildi; her "F" bir adım olarak sayılırsa 500 adım sonra varılan nokta işaretli olan (18,16) noktasıdır.

$D_{50}$ için $10^{12}$ adım sonrası imlecin konumu ne olur? Cevabınızı arada boşluk olmadan $x,y$ şeklinde veriniz.

Euler Projesi 219. Soru

A ve B bit dizileri olsun (0 ve 1 sayı dizileri). Eğer A, B'nin sol uzunluk(A) bitine eşitse, A'ya B'nin bir öneki denir. Örneğin, 00110 dizisi 001101001 dizisinin bir öneki fakat 00111 veya 100110 dizilerinin öneki değildir.

Herhangi bit dizisinin diğerinin öneki olmadığı n farklı bit dizisi kümesine n boyutlu önek-bağımsız kod adı verilir. Örneğin, $$0000, 0001, 001, 01, 10, 11$$ dizisi 6 boyutlu önek-bağımsız bir koddur.

Şimdi '0' bitini iletmenin maliyeti 1 sent ve '1' bitini iletmenin maliyeti 4 sent olsun. Bu durumda yukarıda verilen önek-bağımsız kodu iletmenin maliyeti 35 sent olur, ki bu aslında belitilen maliyet hesabına göre olası en ucuz maliyetli olanıdır. Yani Cost(6)=35 yazılır.

Bu durumda Cost($10^9$)=?

Fibonacci: Hayatı ve Sayıları

Fibonacci matematikteki en bilinen isimlerdendir. O dönemde Leonardo Pisano ismi ile bilinen matematikçi, Latin dünyasında şimdiki modern sayı sisteminin popüler olmasına yardım etmiş olsa da onu ölümsüz kılan meşhur Fibonacci dizisidir.

Roma imparatorluğu Avrupa'ya Romen sayı sistemini miras bırakmıştı. 13. asrın ortalarına kadar devam eden Romen sayı sisteminin modern sayı sistemi ile değişimini açıklayan Batıdaki ilk eser Pisano'nun Liber Abaci (Hesaplar Kitabı) adlı eseri olmuştur.

Leonardo Pisano İtalya'nın Pisa kentinde doğmuştur. Babası Guglielmo Bonaccio bir tüccardı ve babasının ismi dolayısıyla Fibonacci olarak bilinirdi. Asırlar sonra meslektaşları kitabının kopyalarını çoğaltırlarken yanlışlıkla Bonacci'nin oğlu anlamına gelen "filius Bonacci" iafdesini onun soyadı olarak almışlar ve böylece Fibonacci doğmuştu.

Muhteşem Fibonacci

Arılar yapıyor, tavşanlar yapıyor ve çok şükür biz insanlar da yapıyoruz: meşhur Fibonacci dizisini (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...) keşfediyoruz.

İlk olarak 12. yüzyılda Leonardo Fibonacci tarafından yavru tavşanlarla ilgili bir problemi çalışırken bulundu. Sonrasında ayçiçeklerindeki spirallerden arıların aile ağaçlarına kadar doğanın her köşesinde izlerine rastlandı. Bu dizinin önemi altın oran dene sayı ile olan ilişkisinden gelir. Altın oran ise matematiksel özelliklerinin ilginçliği ve güzellik anlayışımızla olan ilgisinden dolayı dikkat çekicidir.

Fibonacci dizisi en önemli sayı dizilerinden biridir. Yukarıda ilk terimleri verilen Fibonacci dizisi aslında ilk iki terimi 1 olan ve sonraki termleri önceki iki terimin toplamı olan dizi şeklinde tarif edilir:

2 = 1 + 1

3 = 1 + 2

5 = 2 + 3

8 = 3 + 5

...

Yani Fibonacci dizisinin sonsuz kadar olan terimlerini tahmin etmek oldukça kolaydır! Yukarıdaki Fibonacci dizisinde bir sonraki terim 55+89=144 olacaktır.