İkinci Dereceden Denklemlerin 101 Kullanımı: Kuadratik Kaos

Belirli bir böcek türünün popülasyonunun yıldan yıla nasıl değiştiğiyle ilgilenen bir biyolog veya ekolojist olduğunuzu hayal edin. Bazı böceklerin yılda yalnızca bir jenerasyonu vardır ve basit bir model, gelecek yıldaki nüfusun yalnızca mevcut yıldaki nüfusa bağlı olacağını varsayar. Yani, $x_n$, $n$ yılının popülasyonuysa $x_{n + 1}$, $x_n$'nin bir fonksiyonu olacaktır.

Çok basit bir model bir oranın, yani $ax_n$'nin başarılı bir şekilde ürediğini ve $bx_n^2$'nin aşırı kalabalıktan öldüğünü varsayar. Denklemleri basitleştirmek üzere bir sabit sayı $r> 0$ ve başlangıç ​​popülasyonu $x_1$ için aşağıdaki ikinci dereceden denklemi elde etmek üzere koordinatları yeniden ölçeklendirebiliriz:$$x_{n + 1} = rx_n (1-x_n)$$Kesin olarak söylemek gerekirse $r$ sabitiyle etiketlenen bütün bir ikinci dereceden denklem ailesi tanımladık. Bu ailenin her bir üyesi lojistik harita olarak bilinir.