Gradyanlar 2

Bazı fonksiyonların grafiklerine büyütme altında bakıldığında düz olmadıkları görülür. Örneğin aşağıdaki şekilde tanımlı |x| fonksiyonu x=0 noktasında düz değildir:

Şekil 4: Farklı büyütmeler altında |x| grafiği

Gradyanlar

Şekil 1: Doğrunun gradyanı

Basit bir örnekle, yanda şekil 1'de gösterilen doğruyu düşünerek başlayalım. Doğrunun eğimi, $$\frac {\mbox{y'deki değişim}}{\mbox{x'deki değişim}}.                               (1)$$ olarak tanımlanır. Doğru üzerinde iki ayrı nokta $ (x_1, y_1) $ ve $ (x_2, y_2) $ alırsak gradyan aşağıdaki gibi tanımlanır:
$$m: = \frac {y_2-y_1} {x_2-x_1}.$$
Bu, hangi noktaları aldığımıza bağlı değildir. $ m $ 'yi bu şekilde tanımlarken doğrunun denklemi
$$y = mx + c$$ olur. Burada $ c $, doğrunun $ y $ ekseninden geçtiği noktanın $ y $ değeridir.

Fakat Şekil 2'de gösterilen $ x ^ 2 $ fonksiyonunun grafiği gibi düz olmayan eğrilerle ne yapmalıyız? $ x = 3 $ noktasını seçelim ve eğri için $ (3,9) $ noktasında bir gradyana sahip olmanın ne anlama geldiğine karar vermeye çalışalım. Yapacağımız şey bir "teğet" çizmek ve bu doğrunun gradyanını bulmak. Eğrinin gradyanı, bu doğrunun gradyanı olarak tanımlanacaktır. "Verilen noktada $ x ^ 2 $ fonksiyonuyla aynı gradyana sahip" bir doğru bulmaya çalışmakla korkunç bir dolambaçlı iddiaya giriyoruz. Ancak gradyanın ne olduğunu henüz bilmediğimizden problem yok! Bunun yerine, bir teğet çizgisinin ne olabileceği konusunda biraz fikir sahibi olmaya çalışalım.

Şekil 2: x = 3'de y = x² gradyanını bulma