Euler Projesi 282. Soru

Ackermann fonksiyonu

Negatif olmayan m, n tamsayıları için Ackermann fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır:
$$A(m,n)=\{\begin{array}{ll}n+1& \text{ if }m=0\\ A(m-1,1)& \text{ if }m>0\text{ and }n=0\\ A(m-1,A(m,n-1))& \text{ if }m>0\text{ and }n>0 \end{array}$$

$$\begin{array}{l}\end{array}$$Örneğin $A(1,0)=2, A(2,2)=7$ ve $A(3,4)=125$. 

 $\sum_{n=0}^{6}A(n,n)$ değerini bulup cevabı mod 14⁸ olarak veriniz.

Euler Projesi 281. Soru

Pizza Malzemeleri

Size m · n eşit parçaya kesilmiş bir pizza (mükemmel daire) veriliyor ve her dilimde tam olarak bir malzeme olmasını istiyorsunuz.

F(m, n) pizzayı, m farklı malzeme (m ≥ 2) ile, her bir malzemeyi tam olarak n dilimde (n ≥ 1) kullanarak yapabileceğiniz yolların sayısını göstersin. Yansımalar farklı kabul edilirken rotasyonlar farklı kabul edilmemektedir.

Böylece, örneğin, f (2,1) = 1, f (2,2) = f (3,1) = 2 ve f (3,2) = 16.

f (3,2) aşağıda gösterilmiştir:

F (m, n) ≤ 10¹⁵ olacak şekilde tüm f (m, n) toplamlarını bulunuz.

Gradyanlar 2

Bazı fonksiyonların grafiklerine büyütme altında bakıldığında düz olmadıkları görülür. Örneğin aşağıdaki şekilde tanımlı |x| fonksiyonu x=0 noktasında düz değildir:

Şekil 4: Farklı büyütmeler altında |x| grafiği

Euler Projesi 274. Soru

Bölünebilirlik Çarpanları

10 ile aralarında asal olan her $p<1$ tam sayısı için aşağıda $n$ pozitif tam sayına bağlı verilen fonksiyonun $p$ ile bölünebilirliği koruyan bir pozitif $m<p$ bölünebilirlik çarpanı mevcuttur:

$f(n)=(n$'nin son basamağı dışında hepsi$)+(n$'nin son basamağı$)*m$

Yani, eğer $m$ sayısı $p$'nin bölünebilirlik çarpanı ise, bu durumda $f(n)$'nin $p$ ile bölünebilir olmasının gerek ve yeter şartı $n$'nin $p$ ile bölünebilir olmasıdır.

($n$ sayısı $p$'den çok büyük olduğunda $f(n)$ $n$'den küçük olacaktır ve $f$'nin tekrarlı uygulaması $p$ için bir çarpımsal bölünebilirlik testi sağlayacaktır.)

Örneğin 113 için bölünebilirlik çarpanı 34.

$f$(76275) = 7627 + 5 * 34 = 7797: 76275 ve 7797 sayılarının ikisi de 113 ile bölünebilir.
$f$(12345) = 1234 + 5 * 34 = 1404: 12345 ve 1404 sayılarının ikisi de 113 ile bölünebilir değil.

10 ile aralarında asal ve 1000'den küçük asallar için bölünebilirlik çarpanlarının toplamı 39517. 10 ile aralarında asal ve $10^7$'den küçük asallar için bölünebilirlik çarpanlarının toplamı kaçtır?

Euler Projesi 262. Soru

Dağ Silsilesi

Aşağıdaki denklem, herhangi bir (x, y) noktasında h yüksekliğini veren, dağlık bir bölgenin sürekli topoğrafyasını temsil eder:

Bir sivrisinek, 0 ≤ x, y ≤ 1600 ile verilen alanı terk etmeden A(200,200) noktasından B(1400,1400) noktasına uçmak istiyor.

Araya giren dağlardan dolayı ilk önce f yüksekliğindeki A' noktasına dosdoğru yükselir, f yükselir. Ardından, aynı f seviyesinde kalırken B noktasının hemen üzerindeki B' noktasına gelinceye kadar bazı engeller etrafında uçar.

İlk önce, belirtilen alanda kalırken A noktasından B noktasına böyle bir seyahate imkan veren minimum sabit yükseklik olan fmin'i belirleyin. Ardından sabit f_min yüksekliğinde uçarken A' ve B' arasındaki en kısa yolun uzunluğunu bulun.

Cevabınızı üç ondalık basamağa yuvarlayarak verin.

Not: Kolaylık olması açısından yukarıda gösterilen yükseklik fonksiyonu, çoğu programlama dili için uygun bir biçimde aşağıda verilmiştir:
h = (5000-0.005 * (x * x + y * y + x * y) + 12.5 * (x + y)) * exp (-abs (0.000001 * (x * x + y * y) -0.0015 * ( x + y) +0.7))

Euler Projesi 217. Soru

Dengelenmiş Sayılar


⌈x⌉, x'in taban değeri, x'ten büyük en küçük tamsayıyı göstermek üzere, örneğin ⌈π⌉=4 ve ⌈5⌉=5 gibi, eğer k (ondalık) basamaklı bir pozitif tamsayının ilk ⌈k/2⌉ basamağının toplamı son ⌈k/2⌉ basamağının toplamına eşitse bu sayıya dengelenmiş denir.

Bu durumda örneğin, tüm palindromlar dengelenmiştir, 13722 sayısında olduğu gibi.

10ⁿ den küçük tüm dengelenmiş sayıların toplamı T(n) olsun. Böylece T(1)=45, T(2)=540 ve T(5)=334795890 olur.

T(47) mod 3¹⁵ kaçtır?