 |
| Vikipedi |
Sürekli kesir açılımının genel örneği, 1812'de büyük Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss (1777-1855) tarafından keşfedildi, ancak bulgularını yayınlamadı. Bunun yerine, Paris'teki Pierre Laplace'a kendisinin ne bulduğunu, tipik devam eden kesir açılımları için $ P([0; a_1, a_2, \ldots, a_ n, \ldots] <x) $
olasılığının $ \log_2 (1 + x), n \rightarrow \infty$ değerine yaklaştığını yazdı. Sadece 1928'de Gauss'un kanıtı, Rus matematikçisi RO Kuzmin tarafından yeniden yapılandırıldı ve genelleştirildi, (başka bir şekilde) bir yıl sonra Fransız matematikçi Paul Lévy (1886-1971) tarafından kanıtlandı.
Eğer hemen hemen her gerçel sayının sonsuz sürekli kesir açılımını düşünürsek, n genişledikçe, $a_ n$ bölümünün $ k $ tamsayısına eşit olma ihtimali
$P (k) = \frac {\ln {1+ \frac{1}{k (k + 2)} }} {\ln 2}$
değerine yaklaşır.
Bu, bazı önemli özelliklere sahiptir. Öncelikle bu bir olasılık dağılımı olduğundan, k'nın tüm değerleri üzerinden, 1'den $\infty$'a kadar, bir toplam alırsak cevap 1 olur. İkincisi, büyük k değerlerinin nadir olduğunu görüyoruz: Aslında, P (1), P (2) vb değerlerinin hesaplanmasıyla, bölümlerin yaklaşık %41'inin 1 ve %17'sinin 2 olduğu görülür. k arttıkça, bölümlerde görünen daha büyük k değerlerinin olma ihtimali çok düşüktür. Önceki örneklerimize bakarsak, e'nin "hemen hemen her" tanımına dahil edilmeyen özel reel sayı kümesine üye olduğunu görüyoruz. Bununla birlikte, $ \pi $ bir üye gibi görünüyor. Ramanujan'ın ürettiği $ pi $ yaklaşık değerine bakarsak, 16539 kadar büyük bir bölüm olasılığının sadece $10^9 $ 'da yaklaşık 5 parça olduğunu görürüz.
Binom teoremini kullanarak payı genişletmek için k yeterince büyütürsek (yani k(k + 2)'nın k^2 olarak davrandığında), o zaman $P (k) \approx k ^ {- 2}, k \rightarrow \infty $ olur. Bu, hemen hemen her sayının sürekli kesir açılımındaki k değerinin ortalama (veya aritmetik ortalama) değerini bulmaya çalışırsak, sonsuz bir cevap alırız demektir. Ortalama, sadece $ \sum k ^ {- 1}, k \rightarrow \infty $ durumu dışında 1 ila $ \infty $ arasında $\sum kP(k)$ toplamıdır.