Euler Projesi 286. Soru

Puanlama Olasılıkları

Barbara bir matematikçi ve bir basketbol oyuncusu. x mesafesinden atış yaparken skor yapma olasılığının tam olarak (1 - x / q) olduğunu bulmuştur; burada q, 50'den büyük bir reel sabittir.

Her antrenman turu sırasında x = 1, x = 2, ..., x = 50 mesafelerinden atış yapıyor ve kayıtlarına göre toplamda tam olarak 20 skorunu yapmak için tam olarak %2 şansı var.

q'yu bulun ve cevabınızı 10 ondalık basamağa yuvarlayarak verin.

Euler Projesi 285. Soru

Pisagor Olasılığı

Albert pozitif bir tam sayı k seçer, ardından tekdüze dağılımlı [0,1] aralığında rastgele iki reel sayı a, b seçilir. Daha sonra (k·a + 1)² + (k·b + 1)² toplamının karekökü hesaplanır ve en yakın tam sayıya yuvarlanır. Sonuç k'ye eşitse, Albert k puan alır; aksi takdirde hiçbir puan almaz.

Örneğin, k = 6, a = 0,2 ve b = 0,85 ise, (k·a + 1)² + (k·b + 1)² = 42,05.

42,05'in karekökü 6,484'tür ... ve en yakın tam sayıya yuvarlandığında 6 olur.

Bu k'ye eşittir, bu yüzden 6 puan alır.

k = 1, k = 2, ..., k = 10 ile 10 tur oynarsa, beş ondalık basamağa yuvarlanmış toplam puanının beklenen değerinin 10,20914 olduğu gösterilebilir.

k = 1, k = 2, k = 3, ..., k = 105 ile 105 tur oynarsa, beş ondalık basamağa yuvarlanan toplam puanının beklenen değeri kaçtır?

Ted-Ed: Neden mantıksız kararlar veririz?

İnsanlar sıklıkla ekonomik anlamda akılcı olmayan yani en iyi sonucu elde edemeyecekleri kararlar verirler. Peki, neden? Rakamlar ve olasılıklarda iyi değil miyiz? Yoksa bunun arkasında psikolojik bir mekanizma mı var? Sara Garofalo, analiz yapmaktan çok, önceki deneyimler ve duygulara dayanan, kestirme yol davranışı denilen sorun çözme yaklaşımını açıklıyor.

Tüm ders için: https://ed.ted.com/lessons/the-psychology-behind-irrational-decisions-sara-garofalo

Ted-Ed: Oy birliğiyle alınan kararlara güvenilmeli mi?

Suç mahallinden kaçarken göz ucuyla gördükleri bir banka soyguncusunu tespit etmesi istenen sıraya dizilmiş on tanık düşünün. Eğer altısı aynı kişiyi seçerse asıl suçlunun o olma şansı yüksektir ve eğer onu da aynı tercihi yaparsa gerçeğin su götürmez olduğunu düşünebilirsiniz. Derek Abbott oy birliği paradoksunu açıklıyor.

Tüm ders için: https://ed.ted.com/lessons/should-you-trust-unanimous-decisions-derek-abbott

Olasılık Öğrenmenin Zararı

"Keşke hiç olasılık öğrenmemiş olsaydık, pek şansımızın olduğunu sanmıyorum."

Ted-ed: Tutsak şapkası bilmecesini çözebilir misiniz?

Siz ve diğer dokuz kişi süper zeki uzaylı komutanlarca kaçırıldınız. Uzaylılar insanları oldukça lezzetli görüyor, ancak medeniyetleri, son derece mantıklı ve işbirlikçi canlıları yemeyi yasaklıyor. Ne yazık ki, kalitenizden emin değiller, bu nedenle hepinize bir test uygulamaya karar verirler. Bu şapka bilmecesini çözebilir misiniz? Alex Gendler nasıl olacağını gösteriyor.

Dersin tamamı için: http://ed.ted.com/lessons/can-you-solve-the-prisoner-hat-riddle-alex-gendler

İnternette Sonuçlara Ulaşma

Milyarlarca sayfanın, raflarda sırayla istiflenmiş kitaplar şeklinde dizilmek yerine, rastgele bir yığın halinde depolandığı bir kütüphanede doğru bilgileri hızlıca bulmaya çalıştığınızı hayal edin. İşte arama motorlarının günde milyonlarca kez yaptığı budur. Birinci nesil arama motorları çoğu zaman yararlı sayfaları bulmalarına karşın bunları listenin çok altına koyarak pratik faydayı yok etmişlerdir. Mevcut arama motorları ise sayfaları matematik kullanarak (olasılık, grafik teorisi ve doğrusal cebir) sıralar, böylece bir sorguyla en ilgili siteler kullanıcının en kolay görebildiği yerlerde listelenir.

İnternetteki birçok sayfa ve bağlantı, düğümlerin birer Web sayfası ve yönlü kenarların birer bağlantı olduğu bir graf olarak gösterilebilir. Günümüzün arama motorları, ilgili sayfaya işaret eden sayfaların önemini hesaba katarak o sayfanın bir sorgu ile ilgisini belirlerler. Bu nedenle bir arama için sayfanın bağlantıları da içeriği kadar önemli olabilir. Son sıralama, arama motorunun kurucularına göre milyonlarca değişken ve milyarlarca terim içeren denklemlerin formüle edilerek çözülmesine yardımcı olan doğrusal cebir ve olasılık tekniklerinden elde edilir. Gelecekte arama motorları, bir sorgunun gerçek amacını ayırt etmek için yapay zeka ve geçmiş aramalardaki bilgileri kullanabilir.

Euler Projesi 267. Soru

Milyarder

Size eşsiz bir yatırım fırsatı veriliyor.

1 £ sermaye ile başlayarak bir hilesiz para atma olayında 1000 atış için her seferinde sermayenizin sabit bir f oranını seçip bahse girebilirsiniz.

Tura için bahsinizin iki katı kadar kazanırken yazı için bahisiniz kadarını kaybedersiniz.

Örneğin eğer f = 1/4 ise ilk atış için bahsiniz 0,25 £ olurken, eğer tura gelirse 0,5 £ kazanırsınız ve 1,5 £ paranız olur. Daha sonra bahsiniz 0,375 £ olurken eğer ikinci atış yazı ise 1,125 £ paranız kalır.

1000 atıştan sonra en az 1.000.000.000 £ kazanma şansınızı en üst düzeye çıkaracak şekilde f seçimi yaparsanız milyarder olma şansınız nedir?

Tüm hesaplamaların tam olduğu (yuvarlama olmadığı) kabul edilir, ancak cevabınızı 0,abcdefghijkl biçiminde 12 ondalık basamağa yuvarlayarak veriniz.

Ted-Ed: Son muz: Olasılık üzerine bir düşünce deneyi

Bir zar oyunu düşünün: atılan en büyük sayı bir, iki, üç veya dört ise, birinci oyuncu kazanır. Atılan en büyük sayı beş veya altı ise, ikinci oyuncu kazanır. Hangi oyuncunun oyunu kazanma olasılığı daha yüksektir? Leonardo Barichello, olasılığın mantıksız görünen bu bulmacanın cevabını nasıl barındırdığını açıklıyor.

Euler Projesi 253. Soru:

Etrafı derleyip toplamak

Bir çocuğun kırk parçadan oluşan oyuncak bir "sayı tırtılı" var, her yapboz parçasının üzerinde bir sayı olup birleştirildiklerinde sırayla 1 den 40 a sayılar açığa çıkıyor.

Her gece çocuğun babası etrafa dağılan parçaları alıp topluyor. Parçaları rastgele alıp doğru sırada yerleştiriyor.

Tırtıl bu şekilde oluşturulurken, gittikçe birbiriyle birleşen segmentler oluşturuyor.

Segmentlerin sayısı 0 dan başlayıp (hiçbir parça yerleştirilmemiş) genellikle 11 ya da 12 ye kadar yükseliyor, sonra tekrar düşme eğilimine girerek tek bir segment olarak bitiyor (tüm parçalar yerleştirilmiş).

Örneğin:

Yerleştirilen Parça	O ana kadarki segmentler
12	1
4	2
29	3
6	4
34	5
5	4
35	4
…	…

Tırtılın rastgele derlenip toparlanması sırasındaki karşılaşılan maksimum segment sayısı M olsun.

10 parçalı bir tırtıl için her M için olasılıkların sayısı şöyledir:

M	Olasılıklar
1	512
2	250912
3	1815264
4	1418112
5	144000

Böylece M nin en olası değeri 3 ve ortalama değer ise altı ondalık basamağa kadar $385643/113400=3,400732$ dir.

40 parçalı bir tırtıl için M nin en olası değeri 11 dir; ancak M nin ortalama değeri kaçtır?

Cevabınızı altı ondalık basamağa yuvarlayarak veriniz.

Euler Projesi 239. Soru

Yirmi İki Aptalca Asal Sayı

1'den 100'e kadar numaralandırılmış bir dizi disk bir sıra halinde rastgele sıralanıyor.

Tam olarak 22 asal sayılı diskin doğal konumlarından başka yerde bulunacak şekilde kısmi bir bozulmayla sıralanması olasılığı nedir? (Asal sayılı olmayan disklerin herhangi bir kısmı kendi doğal konumlarında veya konumlarının dışında bulunabilir.)

Cevabınızı 0, abcdefghijkl şeklinde 12 ondalık basamağa kadar yuvarlayarak verin.

Monty Hall Bilmecesi

Önünüzde 3 tane kapı var. Birinin arkasında bir araba, diğer ikisinin arkasında ise birer keçi var. Açtığınız kapının arkasındakini alacaksınız (tabii ki hedef araba).
Kapılardan birini seçtiniz. Şimdi bu anda size diğer iki kapıdan arkasında keçi bulunan kapı açılarak gösteriliyor.
Şu halde arabayı bulma adına seçtiğiniz kapıyı değiştirmeli misiniz, değiştirmemeli misiniz?

Euler Projesi 232. Soru

Yarış

İki oyuncu hileli bir parayı sırasıyla kullanarak "Yarış" oyununu oynuyorlar. Oyuncu 1 parayı bir kere atıyor: Tura gelirse, 1 puan alıyor; yazı gelirse puan almıyor. Oyuncu 2 bir T pozitif tam sayı seçip parayı bu sayıda atıyor: Hepsi tura gelirse 2^T-1 puan alıyor; aksi takdirde puan almıyor. İlk Oyuncu 1 başlıyor. 100 veya daha fazla puan alan kazanıyor.

Her sıra geldiğinde Oyuncu 2 bir T sayısı seçerek kazanma olasılığını maksimize etmek istiyor.

Oyuncu 2'nin kazanma olasılığı nedir?

Cevabınızı 8 ondalık basamağa kadar 0, abcdefgh biçiminde veriniz.

Gauss'ın Diğer Olasılık Dağılımı

Vikipedi

Sürekli kesir açılımının genel örneği, 1812'de büyük Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss (1777-1855) tarafından keşfedildi, ancak bulgularını yayınlamadı. Bunun yerine, Paris'teki Pierre Laplace'a kendisinin ne bulduğunu, tipik devam eden kesir açılımları için $ P([0; a_1, a_2, \ldots, a_ n, \ldots] <x) $ 

olasılığının $ \log_2 (1 + x),  n \rightarrow \infty$ değerine yaklaştığını yazdı. Sadece 1928'de Gauss'un kanıtı, Rus matematikçisi RO Kuzmin tarafından yeniden yapılandırıldı ve genelleştirildi, (başka bir şekilde) bir yıl sonra Fransız matematikçi Paul Lévy (1886-1971) tarafından kanıtlandı. 

Eğer hemen hemen her gerçel sayının sonsuz sürekli kesir açılımını düşünürsek, n genişledikçe, $a_ n$ bölümünün $ k $ tamsayısına eşit olma ihtimali 

$P (k) = \frac {\ln {1+ \frac{1}{k (k + 2)} }} {\ln 2}$

değerine yaklaşır.

Bu, bazı önemli özelliklere sahiptir. Öncelikle bu bir olasılık dağılımı olduğundan, k'nın tüm değerleri üzerinden, 1'den $\infty$'a kadar, bir toplam alırsak cevap 1 olur. İkincisi, büyük k değerlerinin nadir olduğunu görüyoruz: Aslında, P (1), P (2) vb değerlerinin hesaplanmasıyla, bölümlerin yaklaşık %41'inin 1  ve %17'sinin  2 olduğu görülür. k arttıkça, bölümlerde görünen daha büyük k değerlerinin olma ihtimali çok düşüktür. Önceki örneklerimize bakarsak, e'nin "hemen hemen her" tanımına dahil edilmeyen özel reel sayı kümesine üye olduğunu görüyoruz. Bununla birlikte, $ \pi $ bir üye gibi görünüyor. Ramanujan'ın ürettiği $ pi $ yaklaşık değerine bakarsak, 16539 kadar büyük bir bölüm olasılığının sadece $10^9 $ 'da yaklaşık 5 parça olduğunu görürüz.

Binom teoremini kullanarak payı genişletmek için k yeterince büyütürsek (yani k(k + 2)'nın k^2 olarak davrandığında), o zaman $P (k) \approx k ^ {- 2}, k \rightarrow \infty $ olur. Bu, hemen hemen her sayının sürekli kesir açılımındaki k değerinin ortalama (veya aritmetik ortalama) değerini bulmaya çalışırsak, sonsuz bir cevap alırız demektir. Ortalama, sadece $ \sum k ^ {- 1},  k \rightarrow \infty $ durumu dışında 1 ila $ \infty $ arasında $\sum kP(k)$ toplamıdır.

MathPages: Matematik Sayfaları

Çok uzun zamandır yayın hayatına devam eden ve gerçekten zengin bir kaynak oluşturan siteninTürkçeleştirilmemiş olması öğrencilerimiz adına büyük kayıp. Bu blogda ara ara buradan bazı yazıları çevirip sizlere sunacağız.
Sitede sayılar teorisinden olasılığa, tarihten müziğe birçok alanda yazı bulunuyor. Bunlardan bazıları kitaplaştırılmış. Yararlanmanız dileğiyle.

Euler Projesi 205. Soru

Zar Oyunu

Pelin'in elinde her yüzü 1,2,3,4 sayılarıyla numaralandırılmış 9 adet 4-yüzlü (piramidal) zar var. Cansu'nun elinde ise her yüzü 1,2,3,4,5,6 sayılarıyla numaralandırılmış 6 adet 6-yüzlü (kübik) zar var.

Pelin ve Cansu zarları atıyorlar ve toplamları karşılaştırıyorlar: yüksek olan kazanıyor. Eğer toplamlar eşitse beraberlik oluyor.

Piramidal Pelin'in Kübik Cansu'yu yenme olasılığı kaçtır? Cevabı 7 ondalık basamağa yuvarlayarak veriniz.