Kaos Nedir?

T gibi bir dönüşümün kaotik olması için dönüşüm tekrar ve tekrar uygulandığında x değerlerindeki küçük farkları büyütmesi gerekir. Bu ise $dT/dx$ türevinin büyüklüğünün her noktada 1'den büyük olmasını gerektirir.

$dT/dx=-1/x^2, 0<x<1$ olduğundan bu açıktır. Ancak bu büyütme duyarlılığı açıkça üretilen x değerine bağlıdır - değer x=0'a ne kadar yakınsa $|dT/dx|$ o kadar büyüktür. Küçük bir $\delta x$ belirsizliği dönüşümün sayesinde $|dT/dx| \delta x$ değerine büyütülür. Kaotik duyarlılık, büyümenin üstel hızda ($exp{\lambda \delta x}$ gibi) olması anlamına gelir.

$\lambda = \ln |dT/dx|$ duyarlılık kuvvetinin ortalama değerini, T dönüşümü ile bulunan x çıktı değerlerini yöneten Gauss olasılık dağılımı yardımıyla bulacağız. Bu ortalama duyarlılık, h, bazen dönüşümün Kolmogorov veya metrik entropisi olarak adlandırılır ve bu nedenle aşağıdaki gibi verilir: $$h=\int^1_0{ln|dT/dx|}p(x)dx.$$
Önceki yazıda verilen T dönüşümü için değeri şu şekildedir: $$h=\int^1_0{\frac{-2ln(x)}{(1+x)ln2}dx}=\frac{\pi ^2}{6(ln2)}.$$

Gauss'ın Diğer Olasılık Dağılımı

Vikipedi

Sürekli kesir açılımının genel örneği, 1812'de büyük Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss (1777-1855) tarafından keşfedildi, ancak bulgularını yayınlamadı. Bunun yerine, Paris'teki Pierre Laplace'a kendisinin ne bulduğunu, tipik devam eden kesir açılımları için $ P([0; a_1, a_2, \ldots, a_ n, \ldots] <x) $ 

olasılığının $ \log_2 (1 + x),  n \rightarrow \infty$ değerine yaklaştığını yazdı. Sadece 1928'de Gauss'un kanıtı, Rus matematikçisi RO Kuzmin tarafından yeniden yapılandırıldı ve genelleştirildi, (başka bir şekilde) bir yıl sonra Fransız matematikçi Paul Lévy (1886-1971) tarafından kanıtlandı. 

Eğer hemen hemen her gerçel sayının sonsuz sürekli kesir açılımını düşünürsek, n genişledikçe, $a_ n$ bölümünün $ k $ tamsayısına eşit olma ihtimali 

$P (k) = \frac {\ln {1+ \frac{1}{k (k + 2)} }} {\ln 2}$

değerine yaklaşır.

Bu, bazı önemli özelliklere sahiptir. Öncelikle bu bir olasılık dağılımı olduğundan, k'nın tüm değerleri üzerinden, 1'den $\infty$'a kadar, bir toplam alırsak cevap 1 olur. İkincisi, büyük k değerlerinin nadir olduğunu görüyoruz: Aslında, P (1), P (2) vb değerlerinin hesaplanmasıyla, bölümlerin yaklaşık %41'inin 1  ve %17'sinin  2 olduğu görülür. k arttıkça, bölümlerde görünen daha büyük k değerlerinin olma ihtimali çok düşüktür. Önceki örneklerimize bakarsak, e'nin "hemen hemen her" tanımına dahil edilmeyen özel reel sayı kümesine üye olduğunu görüyoruz. Bununla birlikte, $ \pi $ bir üye gibi görünüyor. Ramanujan'ın ürettiği $ pi $ yaklaşık değerine bakarsak, 16539 kadar büyük bir bölüm olasılığının sadece $10^9 $ 'da yaklaşık 5 parça olduğunu görürüz.

Binom teoremini kullanarak payı genişletmek için k yeterince büyütürsek (yani k(k + 2)'nın k^2 olarak davrandığında), o zaman $P (k) \approx k ^ {- 2}, k \rightarrow \infty $ olur. Bu, hemen hemen her sayının sürekli kesir açılımındaki k değerinin ortalama (veya aritmetik ortalama) değerini bulmaya çalışırsak, sonsuz bir cevap alırız demektir. Ortalama, sadece $ \sum k ^ {- 1},  k \rightarrow \infty $ durumu dışında 1 ila $ \infty $ arasında $\sum kP(k)$ toplamıdır.