İkinci Dereceden Denklemlerin 100 Kullanımı: Babilliler - 2

Tabii tüm tarlalar kare değildir. Şimdi, çiftçinin sağda gösterildiği gibi iki üçgen kesitli daha garip şekilli bir tarlaya sahip olduğunu varsayalım. Uygun a ve b değerleri için çiftçinin bu alanda büyütebileceği ürün miktarı $$c=ax^2+bx$$ile verilir.

İkinci Dereceden Denklemlerin 100 Kullanımı: Babilliler

9 ile çarpım tablosunu içeren Babil çivi yazısı tabletleri

Her şey Babil'liler ile MÖ 3000 civarında başladı. Onlar dünyanın ilk medeniyetlerinden biriydi ve tarım, sulama ve yazı gibi bazı büyük fikirlerle ortaya çıktılar. Güneş'in, Ay'ın ve gezegenlerin yollarını çizdiler ve bunları kil tabletlerine kaydettiler (Britanya Müzesinde hala görebilirsiniz). Çemberin 360 derece olarak bölünme biçimi de dahil olmak üzere, modern açı fikirlerini Babillilere borçluyuz. Aynı zamanda (korkulan) vergi uzmanının daha az hoş bir icadı için borçluyuz. Ve bu, Babillerin ikinci dereceden denklemleri çözmek için ihtiyaç duydukları nedenlerden biriydi.

Arşimet ve Karekök Üç

Belki de tarihte en sık konuşulan sorular arasında Arşimet'in $\pi$ değerini hesaplamak için kullandığı $\sqrt{3}$ yaklaşık değer hesabı yer alır. Arşimet bu hesap için $$\frac{1351}{780}>\sqrt{3}>\frac{265}{153}$$ eşitsizliğinden $\sqrt{3}=\frac{1351}{780}$ alıyor. Bu hesap konusunda Arşimet yeterli açıklama yapmadığından farklı tahminlerde bulunulmuştur.


Kullanılan yöntem her ne olursa olsun, $\sqrt{3}$ sayısının sürekli kesir açılımının kullanıldığı açıktır (ki bu da $x^2-3y^2=1$ Pell denklemi ile yakından ilişkilidir. Çünkü doğal olarak 3 'ten çok az büyük $(x/y)^2$ rasyonel tamkaresini arıyorsak bu $x^2$ tamsayısının çok az $3y^2$ tamsayısından büyük olması anlamına gelir). Aksi takdirde en iyi olasılık olan $\frac{1351}{780}$ ve $\frac{265}{153}$ tamkare kesirlerine nasıl ulaştıklarını açıklamak gerçekten zor olur. Fakat yine de Yunanlılar bu hesabı yapması için açık bir sürekli kesir algoritması gerekli tüm uzun bölmelerden dolayı zor sayılır.

Yunanlılar tarafından kullanılmış olabilecek olası bir yöntem şu olabilir: A sayısının kare kökü $\sqrt{A}=N+r$ olacak şekilde tamsayı ve kalan kısımlarına ayrılabilir. Burada N tamsayısı $N^2$ sayısı A sayısından küçük olacak şekilde alınan en büyük tamsayıdır. r'nin değeri $$s_{n}=2Ns_{n-1}+(A-N^2)s_{n-2}$$ yineleme formülüne dayanan tamsayı toplama ve çarpma işlemleri yardımıyla istenen kesinlikte yaklaşık hesaplanabilir.