Euler Projesi 284. Soru

Kararlı Kareler 

Ondalık sistemdeki 3 haneli 376 sayısı, karesi aynı rakamlarla biten özel nitelikteki sayılara bir örnektir: 376² = 141376. Bu özelliğe sahip bir sayıya bir kararlı kare diyelim. 

Diğer sayı sistemlerinde de sabit kareler gözlemlenebilir. 14 tabanlı sayı sisteminde, 3 basamaklı c37 sayısı da bir kararlı karedir: c37² = aa0c37 ve aynı sayı sisteminde basamaklarının toplamı c + 3 + 7 = 18'dir. a, b, c ve d harfleri, onaltılık sayı sistemine benzer şekilde sırasıyla 10, 11, 12 ve 13 basamak değerleri için kullanılır. 

1 ≤ n ≤ 9 için, 14 tabanlı sayı sistemindeki tüm n basamaklı kararlı karelerin rakamlarının toplamı 2d8'dir (582 ondalık). Başında 0 bulunan kararlı karelere izin verilmez. 

1 ≤ n ≤ 10000 (ondalık) için 14 tabanlı sayı sistemindeki tüm n basamaklı kararlı karelerin rakamlarının toplamını bulun ve cevabınızı 14 tabanlı sistemde gerekli yerlerde küçük harflerle verin.

Euler Projesi 217. Soru

Dengelenmiş Sayılar


⌈x⌉, x'in taban değeri, x'ten büyük en küçük tamsayıyı göstermek üzere, örneğin ⌈π⌉=4 ve ⌈5⌉=5 gibi, eğer k (ondalık) basamaklı bir pozitif tamsayının ilk ⌈k/2⌉ basamağının toplamı son ⌈k/2⌉ basamağının toplamına eşitse bu sayıya dengelenmiş denir.

Bu durumda örneğin, tüm palindromlar dengelenmiştir, 13722 sayısında olduğu gibi.

10ⁿ den küçük tüm dengelenmiş sayıların toplamı T(n) olsun. Böylece T(1)=45, T(2)=540 ve T(5)=334795890 olur.

T(47) mod 3¹⁵ kaçtır?