Euler Projesi 284. Soru

Kararlı Kareler 

Ondalık sistemdeki 3 haneli 376 sayısı, karesi aynı rakamlarla biten özel nitelikteki sayılara bir örnektir: 376² = 141376. Bu özelliğe sahip bir sayıya bir kararlı kare diyelim. 

Diğer sayı sistemlerinde de sabit kareler gözlemlenebilir. 14 tabanlı sayı sisteminde, 3 basamaklı c37 sayısı da bir kararlı karedir: c37² = aa0c37 ve aynı sayı sisteminde basamaklarının toplamı c + 3 + 7 = 18'dir. a, b, c ve d harfleri, onaltılık sayı sistemine benzer şekilde sırasıyla 10, 11, 12 ve 13 basamak değerleri için kullanılır. 

1 ≤ n ≤ 9 için, 14 tabanlı sayı sistemindeki tüm n basamaklı kararlı karelerin rakamlarının toplamı 2d8'dir (582 ondalık). Başında 0 bulunan kararlı karelere izin verilmez. 

1 ≤ n ≤ 10000 (ondalık) için 14 tabanlı sayı sistemindeki tüm n basamaklı kararlı karelerin rakamlarının toplamını bulun ve cevabınızı 14 tabanlı sistemde gerekli yerlerde küçük harflerle verin.

Euler Projesi 279. Soru

Kenar uzunlukları ve bir iç açısı tam sayı olan üçgenler

Kenar uzunlukları ve en az bir iç açısı (derece cinsinden) tam sayı olan ve çevre uzunluğu en fazla $10^8$ olan kaç üçgen bulunur?

Euler Projesi 275. Soru

Dengeli Yapılar

n mertebeli dengeli bir yapıyı aşağıdaki şekilde tanımlayalım:

• Bloklardan (n adet karo) ve kaide (kalan karo) olarak bilinen n+1 karodan oluşan bir polyomino;
• kaidenin merkezi (x=0, y=0) konumunda;
• blokların ordinatları sıfırdan büyük (yani kaide en altta kalan tek karo);
• tüm karoların oluşturduğu şeklin kütle merkezi 0 apsislidir.

Yapıları sayarken sadece y-eksenine göre simetrik olanlar aynı kabul edilirler. Örneğin 6 mertebeli 18 dengeli yapı aşağıda gösterilmiştir. Y-eksenine göre simetrik olanların tek bir yapı olarak sayıldığına dikkat edin:

10 mertebeli 964 ve 15 mertebeli 360505 dengeli yapı bulunmaktadır.

18 mertebeli kaç dengeli yapı mevcuttur?

Euler Projesi 270. Soru

Kare kesme

Tam sayı N × N boyutlu kare bir kağıt parçası, bir köşesi başlangıç noktasında ve iki kenarı da x ve y eksenleri üzerinde olacak şekilde yerleştiriliyor. Ardından aşağıdaki kurallara uyarak bu kareyi kesiyoruz:

• Sadece karenin farklı kenarlarında bulunan ve tam sayı koordinatlarına sahip iki nokta arasında uzanan düz kesimler yapıyoruz.
• İki kesim kesişemez, ancak kesimler aynı kenar noktasında buluşabilir.
• Daha fazla kurallı kesme yapılamayana kadar kesmeye devam edin.

Herhangi bir yansımayı veya dönüşümü farklı sayarsak, N x N karesini kesme yollarının sayısını C(N) ile tanımlayalım. Örneğin C(1) = 2 ve C(2) = 30 (aşağıda gösterilmiştir).

C(30) mod 10⁸ kaçtır?

Euler Projesi 268. Soru

100'den küçük en az dört farklı asal çarpanı bulunan sayıları sayma

100'den küçük en az dört farklı asal çarpanı bulunan 1000'den küçük 23 pozitif tam sayı bulunduğu gösterilebilir.

100'den küçük en az dört farklı asal çarpanı bulunan 10¹⁶'dan küçük kaç pozitif tam sayı vardır?

Euler Projesi 265. Soru

İkilik Çemberler

2N adet ikilik tabandaki sayı, her N-basamaklı saat yönündeki altdizi farklı olacak şekilde bir çembere yerleştirilebilir.

N=3 için döndürme haricinde böyle iki dairesel düzenleme mümkündür:

İlk düzenleme için saat yönündeki 3-basamaklı altdiziler: 000, 001, 010, 101, 011, 111, 110 ve 100.

Her dairesel düzenleme, en önemli bitler olarak tümü sıfırlardan oluşan altdizi ile başlayan ikilik basamakları peşpeşe yazıp saat yönünde ilerleyerek bir sayı olarak kodlanabilir. N=3 için iki düzenleme böylelikle 23 ve 29 olarak gösterilebilir:

00010111₂ = 23

00011101₂ = 29

Tek sayısal gösterimlerin toplamı S(N) ile ifade edilirse S(3)=23+29=52 olur.

S(5) kaçtır?

Euler Projesi 264. Soru

Üçgen Merkezleri

Aşağıda verilen özelliklere sahip tüm üçgenleri düşünün:

• Tüm köşeleri örgü noktaları üzerinde
• Çevrel çemberin merkezi O orijin noktasında
• Yüksekliklerin kesim noktası H(5,0)

Çevre uzunluğu ≤ 50 olan böyle 9 adet üçgen vardır.
Yarıçapları artan sırada olmak üzere bunlar:

A(-4, 3), B(5, 0), C(4, -3)
A(4, 3), B(5, 0), C(-4, -3)
A(-3, 4), B(5, 0), C(3, -4)

A(3, 4), B(5, 0), C(-3, -4)
A(0, 5), B(5, 0), C(0, -5)
A(1, 8), B(8, -1), C(-4, -7)

A(8, 1), B(1, -8), C(-4, 7)
A(2, 9), B(9, -2), C(-6, -7)
A(9, 2), B(2, -9), C(-6, 7)

Bunların çevre uzunlukları toplamı 4 ondalık basamağa kadar 291,0089'dur.

Çevre uzunluğu ≤ 10⁵ olan böyle üçgenleri bulun. Bunların çevre uzunlukları toplamını 4 ondalık basamağa kadar cevabınız olarak girin.

Euler Projesi 262. Soru

Dağ Silsilesi

Aşağıdaki denklem, herhangi bir (x, y) noktasında h yüksekliğini veren, dağlık bir bölgenin sürekli topoğrafyasını temsil eder:

Bir sivrisinek, 0 ≤ x, y ≤ 1600 ile verilen alanı terk etmeden A(200,200) noktasından B(1400,1400) noktasına uçmak istiyor.

Araya giren dağlardan dolayı ilk önce f yüksekliğindeki A' noktasına dosdoğru yükselir, f yükselir. Ardından, aynı f seviyesinde kalırken B noktasının hemen üzerindeki B' noktasına gelinceye kadar bazı engeller etrafında uçar.

İlk önce, belirtilen alanda kalırken A noktasından B noktasına böyle bir seyahate imkan veren minimum sabit yükseklik olan fmin'i belirleyin. Ardından sabit f_min yüksekliğinde uçarken A' ve B' arasındaki en kısa yolun uzunluğunu bulun.

Cevabınızı üç ondalık basamağa yuvarlayarak verin.

Not: Kolaylık olması açısından yukarıda gösterilen yükseklik fonksiyonu, çoğu programlama dili için uygun bir biçimde aşağıda verilmiştir:
h = (5000-0.005 * (x * x + y * y + x * y) + 12.5 * (x + y)) * exp (-abs (0.000001 * (x * x + y * y) -0.0015 * ( x + y) +0.7))

Euler Projesi 261. Soru

Pivot Kare Toplamlar

m > 0 ve n ≥ k tam sayı çifti için k'ye kadar olan (m + 1) ardışık karenin toplamı, (n + 1)'den başlayan m ardışık karenin toplamına eşitse k pozitif tam sayısına bir kare-pivot diyelim: $$(k-m)^2 + ... + k^2 = (n+1)^2 + ... + (n+m)^2.$$
Bazı küçük kare-pivotlar:

• 4: 3^2 + 4^2 = 5^2
• 21: 20^2 + 21^2 = 29^2
• 24: 21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 = 25^2 + 26^2 + 27^2
• 110: 108^2 + 109^2 + 110^2 = 133^2 + 134^2

10¹⁰ sayısından küçük tüm farklı kare-pivotların toplamını bulunuz.

Euler Projesi 259. Soru

Erişilebilir Sayılar

Aşağıdaki kurallara uygun olarak bir aritmetik işlem sonucu elde edilebilen pozitif bir tam sayı erişilebilir olarak adlandırılır:

• 1'den 9'a kadar olan rakamları bu sırayla ve her birini sadece birer kez kullanır.
• Ardışık herhangi sayıdaki rakamlar birleştirilebilir (örneğin 2, 3 ve 4 rakamlarını kullanarak 234 sayısını elde edebiliriz).
• Yalnızca dört ikili aritmetik işleme (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) izin verilir.
• Her işlem herhangi sayıda kullanılabilir veya hiç kullanılmaz.
• Tekil eksi kullanılamaz.
• İşlemlerin sırasını tanımlamak için herhangi sayıda (muhtemelen yuvalanmış) parantez kullanılabilir.

Örneğin 42 sayısı ulaşılabilirdir, çünkü $$(1/23) * ((4 * 5) - 6) * (78-9) = 42.$$
Tüm pozitif erişilebilir tam sayıların toplamı nedir?

Euler Projesi 258. Soru

Gecikmeli Fibonacci Dizisi

Bu dizi aşağıdaki şekilde tanımlanıyor:

• g_k = 1, 0 ≤ k ≤ 1999 ise
• g_k = g_k-2000 + g_k-1999, k ≥ 2000 ise.

k = 10¹⁸ için g_k mod 20092010 değerini bulunuz.

Euler Projesi 249. Soru

Asal Altküme Toplamları

5000'den küçük asal sayıların kümesi S={2,3,5,...,4999} olsun.

Elemanları toplamı bir asal sayı olan S'nin altkümeleri sayısı kaçtır?
Cevap olarak sadece en sağ 16 rakamı giriniz.

[Project Euler]

Euler Projesi 236. Soru

Lüks Sepeti


'A' ve 'B' tedarikçileri, lüks sepet piyasası için aşağıda belirtilen sayıda ürün sağlamışlardır:

Ürün              'A'    'B'
Beluga Havyarı     5248  640
Noel Keki          1312 1888
Jambon             2624 3776
Porto Şarabı       5760 3776
Şampanya           3936 5664

Tedarikçiler mallarını kusursuz durumda göndermeye çalışsa da kaçınılmaz olarak bazı bozulmalar oldu - yani ürünler kötüleşti.

Tedarikçiler, iki istatistik türünü kullanarak performanslarını karşılaştırırlar:

• Her bir tedarikçi için ürün başına beş bozulma oranı, beş ürünün sırasıyla her biri için tedarik edilen ürün sayısıyla bölünen kötü ürün sayısına eşittir.
• Her bir tedarikçi için genel bozulma oranı, kötüleşmiş toplam ürün sayısının bu tedarikçinin sağladığı toplam ürün sayısına bölünmesiyle elde edilen değere eşittir.

Sürpriz olarak tedarikçiler, ürün başına düşen beş bozulma oranının her birinin, 'B' için olanın 'A' için olana göre aynı m > 1oranında (bozulma oranlarının oranı) daha kötü (yüksek) olduğunu keşfettiler; fakat paradoksal olarak 'A' için olan genel bozulma oranı, 'B' için olana göre daha kötü, hem de aynı m oranında daha kötüdür.

Bu şaşırtıcı sonucun oluşabileceği otuz beş m > 1 değeri vardır, en küçük olanı ise 1476/1475 dir.

m'nin mümkün olan en büyük değeri nedir?
Cevabınızı en sade halinde verilmiş u/v kesri şeklinde veriniz.