Euler Projesi 284. Soru

Kararlı Kareler 

Ondalık sistemdeki 3 haneli 376 sayısı, karesi aynı rakamlarla biten özel nitelikteki sayılara bir örnektir: 376² = 141376. Bu özelliğe sahip bir sayıya bir kararlı kare diyelim. 

Diğer sayı sistemlerinde de sabit kareler gözlemlenebilir. 14 tabanlı sayı sisteminde, 3 basamaklı c37 sayısı da bir kararlı karedir: c37² = aa0c37 ve aynı sayı sisteminde basamaklarının toplamı c + 3 + 7 = 18'dir. a, b, c ve d harfleri, onaltılık sayı sistemine benzer şekilde sırasıyla 10, 11, 12 ve 13 basamak değerleri için kullanılır. 

1 ≤ n ≤ 9 için, 14 tabanlı sayı sistemindeki tüm n basamaklı kararlı karelerin rakamlarının toplamı 2d8'dir (582 ondalık). Başında 0 bulunan kararlı karelere izin verilmez. 

1 ≤ n ≤ 10000 (ondalık) için 14 tabanlı sayı sistemindeki tüm n basamaklı kararlı karelerin rakamlarının toplamını bulun ve cevabınızı 14 tabanlı sistemde gerekli yerlerde küçük harflerle verin.

Euler Projesi 281. Soru

Pizza Malzemeleri

Size m · n eşit parçaya kesilmiş bir pizza (mükemmel daire) veriliyor ve her dilimde tam olarak bir malzeme olmasını istiyorsunuz.

F(m, n) pizzayı, m farklı malzeme (m ≥ 2) ile, her bir malzemeyi tam olarak n dilimde (n ≥ 1) kullanarak yapabileceğiniz yolların sayısını göstersin. Yansımalar farklı kabul edilirken rotasyonlar farklı kabul edilmemektedir.

Böylece, örneğin, f (2,1) = 1, f (2,2) = f (3,1) = 2 ve f (3,2) = 16.

f (3,2) aşağıda gösterilmiştir:

F (m, n) ≤ 10¹⁵ olacak şekilde tüm f (m, n) toplamlarını bulunuz.

Euler Projesi 280. Soru

Karınca ve tohumlar

Çalışkan bir karınca 5x5 bir ızgarada rastgele yürüyor. Yürüyüş merkezdeki kareden başlıyor. Her adımda karınca ızgara dışına çıkmadan rastgele komşu bir kareye hareket ediyor; dolayısıyla karıncanın konumuna bağlı olarak her adımda 2, 3 veya 4 olasılık mevcuttur.

Yürüyüşe başlarken alttaki satırın her bir karesine bir tohum yerleştirilir. Karınca bir tohum taşımıyorken tohum bulunan alt satırdaki bir kareye ulaştığında, tohumu taşımaya başlar. Sonrasında üst satırda bulunan ulaştığı ilk boş kareye tohumu bırakır.

Tüm tohumların sonuçta üst satırda bırakılmış olmasına kadar geçen adım sayısının beklenen değeri kaçtır? Cevabınızı 6 ondalık basamağa yuvarlayarak veriniz.

Euler Projesi 279. Soru

Kenar uzunlukları ve bir iç açısı tam sayı olan üçgenler

Kenar uzunlukları ve en az bir iç açısı (derece cinsinden) tam sayı olan ve çevre uzunluğu en fazla $10^8$ olan kaç üçgen bulunur?

Euler Projesi 278. Soru

Yarı Asalların Lineer Kombinasyonları

$1<a_1<a_2<...<a_n$ tamsayıları için, sadece $q_k\ge 0$ tamsayı değerleri kullanılarak elde edilen $q_1a_1+q_2a_2+...+q_na_n=b$ lineer kombinasyonunu ele alalım.

Belirli bir $a_k$ kümesi için her $b$ değerinin mümkün olmayabileceğine dikkat edin. Örneğin $a_1=5, a_2=7$ için $b=1,2,3,4,6,8,9,11,13,16,18,23$ değerlerini veren $q_1\ge 0$ ve $q_2\ge 0$ değerleri bulunmamaktadır. Görüldüğü üzere bu koşullarda en büyük imkansız $b$ değeri 23'tür. Bunu $f(5,7)=23$ ile gösterelim.

Benzer şekilde $f(6,10,15)=29$ ve $f(14,22,77)=195$ olacağı gösterilebilir.

$p<q<r<5000$ asalları için $\sum f(pq,pr,qr)$ değeri kaçtır?

Euler Projesi 276. Soru

İlkel Üçgenler

Kenar uzunlukları a, b ve c ($a\le b\le c$) tam sayıları olan üçgenleri düşünün.
Tam sayı kenar uzunluklarına sahip herhangi bir üçgen GCD(a,b,c)=1 ise ilkel olarak adlandırılır.
Çevre uzunluğu 10.000.000'dan fazla olmayan kaç adet tam sayı kenarlı ilkel üçgen bulunur?

Euler Projesi 274. Soru

Bölünebilirlik Çarpanları

10 ile aralarında asal olan her $p<1$ tam sayısı için aşağıda $n$ pozitif tam sayına bağlı verilen fonksiyonun $p$ ile bölünebilirliği koruyan bir pozitif $m<p$ bölünebilirlik çarpanı mevcuttur:

$f(n)=(n$'nin son basamağı dışında hepsi$)+(n$'nin son basamağı$)*m$

Yani, eğer $m$ sayısı $p$'nin bölünebilirlik çarpanı ise, bu durumda $f(n)$'nin $p$ ile bölünebilir olmasının gerek ve yeter şartı $n$'nin $p$ ile bölünebilir olmasıdır.

($n$ sayısı $p$'den çok büyük olduğunda $f(n)$ $n$'den küçük olacaktır ve $f$'nin tekrarlı uygulaması $p$ için bir çarpımsal bölünebilirlik testi sağlayacaktır.)

Örneğin 113 için bölünebilirlik çarpanı 34.

$f$(76275) = 7627 + 5 * 34 = 7797: 76275 ve 7797 sayılarının ikisi de 113 ile bölünebilir.
$f$(12345) = 1234 + 5 * 34 = 1404: 12345 ve 1404 sayılarının ikisi de 113 ile bölünebilir değil.

10 ile aralarında asal ve 1000'den küçük asallar için bölünebilirlik çarpanlarının toplamı 39517. 10 ile aralarında asal ve $10^7$'den küçük asallar için bölünebilirlik çarpanlarının toplamı kaçtır?

Euler Projesi 273. Soru

Kareler Toplamı

Şu şekilde tanımlı denklemleri düşünün: $a^2+b^2=N,\, a,b$ ve $N$ tam sayı.

N=65 için iki çözüm mevcut:

$a=1,b=8$ ve $a=4,b=7$.

Yukarıda tanımlanan denklem kümesinin tüm çözümlerinde $a$ değerlerinin toplamına S(N) diyelim.

Bu durumda $S(65)=1+4=5$.

$4k+1<150$ olmak üzere sadece $4k+1$ formundaki asallarla bölünebilen tüm kare-bağımsız $N$ sayıları için $\sum S(N)$ kaçtır?

Euler Projesi 269. Soru

En az bir tam sayı köke sahip polinomlar

P(x)=0 denkleminin bir çözümüne P(x) polinomunun bir kökü ya da sıfırı denir.
Bir n sayısının basamaklarını katsayı kabul eden polinomu P_n ile gösterelim.
Örneğin P₅₇₀₃(x)=5x³+7x²+3.

Şunları gösterebiliriz:

• P_n(0), n sayısının son basamağıdır.
• P_n(1), n sayısının basamakları toplamıdır.
• P_n(10), n sayısıdır.

k sayısından küçük, P_n polinomunun en az bir kökünün olduğu n pozitif tam sayılarının adedini Z(k) ile tanımlayalım.

Z(100.000)=14696 olduğu doğrulanabilir.

Z(10¹⁶) kaçtır?

Euler Projesi 268. Soru

100'den küçük en az dört farklı asal çarpanı bulunan sayıları sayma

100'den küçük en az dört farklı asal çarpanı bulunan 1000'den küçük 23 pozitif tam sayı bulunduğu gösterilebilir.

100'den küçük en az dört farklı asal çarpanı bulunan 10¹⁶'dan küçük kaç pozitif tam sayı vardır?

Euler Projesi 262. Soru

Dağ Silsilesi

Aşağıdaki denklem, herhangi bir (x, y) noktasında h yüksekliğini veren, dağlık bir bölgenin sürekli topoğrafyasını temsil eder:

Bir sivrisinek, 0 ≤ x, y ≤ 1600 ile verilen alanı terk etmeden A(200,200) noktasından B(1400,1400) noktasına uçmak istiyor.

Araya giren dağlardan dolayı ilk önce f yüksekliğindeki A' noktasına dosdoğru yükselir, f yükselir. Ardından, aynı f seviyesinde kalırken B noktasının hemen üzerindeki B' noktasına gelinceye kadar bazı engeller etrafında uçar.

İlk önce, belirtilen alanda kalırken A noktasından B noktasına böyle bir seyahate imkan veren minimum sabit yükseklik olan fmin'i belirleyin. Ardından sabit f_min yüksekliğinde uçarken A' ve B' arasındaki en kısa yolun uzunluğunu bulun.

Cevabınızı üç ondalık basamağa yuvarlayarak verin.

Not: Kolaylık olması açısından yukarıda gösterilen yükseklik fonksiyonu, çoğu programlama dili için uygun bir biçimde aşağıda verilmiştir:
h = (5000-0.005 * (x * x + y * y + x * y) + 12.5 * (x + y)) * exp (-abs (0.000001 * (x * x + y * y) -0.0015 * ( x + y) +0.7))

Euler Projesi 260. Soru

Taş Oyunu

Üç taş yığını ve iki oyuncu ile oynanan bir oyun.
Sırasına göre her bir oyuncu yığınlardan bir veya daha fazla taşı alıp çıkarır. Ancak birden fazla yığından taş alırsa, seçilen yığınların her birinden aynı sayıda taş çıkarması gerekir.

Başka bir deyişle, oyuncu bir N> 0 seçer ve aşağıdaki şekilde çıkarma yapar:

Tek bir yığından N taş; veya
İki yığının her birinden N taş (toplam 2N); veya
Üç yığının her birinden N taş (toplam 3N).
Son taş(lar)ı alan oyuncu oyunu kazanır.

Kazanan bir konfigürasyon, ilk oyuncunun kazanmasını zorunlu hale getiren bir konfigürasyondur.
Örneğin (0,0,13), (0,11,11) ve (5,5,5) konfigürasyonları kazanandır, çünkü ilk oyuncu hemen tüm taşları alabilir.

Kaybeden bir konfigürasyon, ilk oyuncunun ne yaptığına bakılmaksızın ikinci oyuncunun kazanmasını zorunlu hale getirecek bir konfigürasyondur. Örneğin (0,1,2) ve (1,3,3) konfigürasyonları kaybedendir: Herhangi bir geçerli hamle ikinci oyuncu için kazanan bir yapılandırma bırakır.

x_i ≤ y_i ≤ z_i ≤ 100 için tüm kaybeden (x_i, y_i, z_i) konfigürasyonlarını göz önünde bulundurun.
Bunlar için Σ (x_i + y_i + z_i) = 173895 olduğunu doğrulayabiliriz.

x_i ≤ y_i ≤ z_i ≤ 1000 için (x_i, y_i, z_i) kaybeden konfigürasyonlar olmak üzere Σ (x_i + y_i + z_i) değerini bulunuz.

Euler Projesi 261. Soru

Pivot Kare Toplamlar

m > 0 ve n ≥ k tam sayı çifti için k'ye kadar olan (m + 1) ardışık karenin toplamı, (n + 1)'den başlayan m ardışık karenin toplamına eşitse k pozitif tam sayısına bir kare-pivot diyelim: $$(k-m)^2 + ... + k^2 = (n+1)^2 + ... + (n+m)^2.$$
Bazı küçük kare-pivotlar:

• 4: 3^2 + 4^2 = 5^2
• 21: 20^2 + 21^2 = 29^2
• 24: 21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 = 25^2 + 26^2 + 27^2
• 110: 108^2 + 109^2 + 110^2 = 133^2 + 134^2

10¹⁰ sayısından küçük tüm farklı kare-pivotların toplamını bulunuz.

Euler Projesi 259. Soru

Erişilebilir Sayılar

Aşağıdaki kurallara uygun olarak bir aritmetik işlem sonucu elde edilebilen pozitif bir tam sayı erişilebilir olarak adlandırılır:

• 1'den 9'a kadar olan rakamları bu sırayla ve her birini sadece birer kez kullanır.
• Ardışık herhangi sayıdaki rakamlar birleştirilebilir (örneğin 2, 3 ve 4 rakamlarını kullanarak 234 sayısını elde edebiliriz).
• Yalnızca dört ikili aritmetik işleme (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) izin verilir.
• Her işlem herhangi sayıda kullanılabilir veya hiç kullanılmaz.
• Tekil eksi kullanılamaz.
• İşlemlerin sırasını tanımlamak için herhangi sayıda (muhtemelen yuvalanmış) parantez kullanılabilir.

Örneğin 42 sayısı ulaşılabilirdir, çünkü $$(1/23) * ((4 * 5) - 6) * (78-9) = 42.$$
Tüm pozitif erişilebilir tam sayıların toplamı nedir?

Euler Projesi 258. Soru

Gecikmeli Fibonacci Dizisi

Bu dizi aşağıdaki şekilde tanımlanıyor:

• g_k = 1, 0 ≤ k ≤ 1999 ise
• g_k = g_k-2000 + g_k-1999, k ≥ 2000 ise.

k = 10¹⁸ için g_k mod 20092010 değerini bulunuz.

Euler Projesi 256. Soru

Tatami-Serbest Odalar

Tatami, bir odanın tabanını üst üste geçmeyerek tamamen kapatmak üzere kullanılan dikdörtgen hasırlardır.

Tek olası tatami boyutunun 1x2 olduğu düşünülürse kaplanacak olan odanın şekli ve boyutunda bazı kısıtlamalar olacaktır.

Bu problem için sadece a, b ve çift s=a.b tam sayı boyutlu dikdörtgen odalar düşünülecek.
"Boyut" kavramı ile odanın taban alanı kastediliyor ve -genelliği bozmadan- $a\le b$ koşulu veriliyor.

Tatami kaplarken izlenecek tek bir kural var: Dört farklı hasırın buluştuğu tek bir nokta bulunmamalı.
Örneğin 4x4 bir oda için aşağıdaki düzenleri ele alın:

Soldaki düzen kabul edilebilir ama sağdaki değil: x ile gösterilen nokta 4 tataminin buluştuğu bir nokta.

Bu kurala göre belli çift-boyutlu odalar tatami ile kaplanamaz: Bunlara tatami-serbest odalar diyoruz.
Ayrıca s boyutlu tatami-serbest odaların sayısını T(s) ile tanımlayalım.

En küçük tatami-serbest odanın boyutu s=70 ve boyut ölçüleri=7x10.
s=70 boyutlu tüm diğer odalar tatami ile kaplanabilir; bunlar 1x70, 2x35 ve 5x14.
Böylece T(70)=1 dir.

Benzer şekilde T(1320)=5 olduğu gösterilebilir, çünkü s=1320 boyutlu 5 adet tatami-serbest oda vardır: 20x66, 22x60, 24x55, 30x44 ve 33x40.
Aslında T(s)=5 olan s-boyutlu en küçük oda için s=1320 dir.

T(s)=200 olan s-boyutlu en küçük oda için s kaçtır?

Euler Projesi 255. Soru

Yuvarlanmış Kare Kökler

Bir n pozitif tam sayının yuvarlanmış kare kökünü, n'nin kare kökünün en yakın tam sayıya yuvarlanmış değeri olarak tanımlarız.

Aşağıdaki işlemle (özellikle tam sayı aritmetiğine uyarlanmış Heron yöntemi) n'nin yuvarlanmış kare kökü bulunur:

n sayısının basamak sayısı d olsun.
d tek ise $x_0=2\times 10^{\frac{(d-1)}{2}}$ olsun.
d çift ise $x_0=7\times 10^{\frac{(d-2)}{2}}$ olsun.

$x_{k+1}=x_k$ olana kadar $$x_{k+1}=\lfloor \frac{x_k+\lceil \frac{n}{x_k}\rceil}{2}\rfloor$$tekrarlayalım.

Örneğin n=4321 sayısının yuvarlanmış kare kökünü bulalım.

n sayısının 4 basamağı var, yani $x_0=7\times 10^{\frac{(4-2)}{2}}=70$ olur. $$x_{1}=\lfloor \frac{70+\lceil \frac{4321}{70}\rceil}{2}\rfloor=66$$ $$x_{2}=\lfloor \frac{66+\lceil \frac{4321}{66}\rceil}{2}\rfloor =66$$

$x_2=x_1$ olduğundan burada dururuz.

Böylece sadece iki iterasyon ile 4321 sayısının yuvarlanmış karekökünün 66 olduğunu bulduk (gerçek kare kökü ise 65,7343137...).

Bu yöntemde gereken iterasyon sayısı şaşırtıcı derecede azdır.

Örneğin 5 basamaklı bir tam sayının ($10.000\le n\le 99.999$) yuvarlanmış kare kökünü yaklaşık 3,2102888889 (10 ondalık basamağa yuvarlanmış yaklaşık değer) iterasyonda bulabiliriz.

Yukarıda tanımlanan işlemle 14 basamaklı bir sayının ($10^{13}\le n< 10^{14}$) yuvarlanmış kare kökünü bulmak için gereken yaklaşık iterasyon sayısı kaçtır?

Cevabınızı 10 ondalık basamağa yuvarlayarak verin.

Not: $\lfloor x\rfloor$ ve $\lceil x\rceil$ sembolleri sırasıyla taban ve tavan fonksiyonlarını ifade eder.

Euler Projesi 254. Soru

Basamak Faktöriyellerinin Toplamı

n sayısının rakamlarının faktöriyelleri toplamı f(n) ile gösterilsin. Örneğin f(342)=3!+4!+2!=32.

f(n) sayısının rakamlarının faktöriyelleri toplamı da sf(n) ile gösterilsin. sf(342)=3!+2!=5 gibi.

sf(n)=i olacak şekilde en küçük n pozitif tam sayı g(i) ile tanımlansın. Yani sf(342)=5 ve yine sf(25)=5 olduğundan g(5)=25 olduğu onaylanabilir.

g(i) sayısının basamakları toplamı ise sg(i) ile verilsin. Böylece sg(5)=2+5=7 olur.

Dahası g(20)=267 ve $1\le i\le 20$ için $\sum$sg(i)=156 olduğu gösterilebilir.

$1\le i\le 150$ için $\sum$sg(i) kaçtır?

Euler Projesi 252. Soru

Konveks (İçbükey) Delikler

Verilen bir noktalar kümesi için bu noktaları köşe kabul eden ve herhangi diğer noktayı içine almayan herhangi bir çokgene bir konveks delik adı verilir (noktalar çokgenin kenarı üzerinde bulunabilir). 

Örneğin aşağıdaki resimde 20 nokta kümesi ve birkaç böylesi konveks delik gösteriliyor. Kırmızı çizgilerle gösterilen yedigen şekilli konveks delik 1049694,5 birim kare alana sahip olup verilen noktalar kümesi için olası en büyük alana sahip konveks deliktir.

Verilen örnek için aşağıdaki pseudo-random sayı üreteciyle üretilen ilk 20 $(T_{2k-1},T_{2k})$ noktası kullanılmıştır: $$S_0=290797 \\ S_{n+1}={S_n}^2 \, mod\, 50515093 \\ T_n=(S_n \, mod \, 2000)-1000$$yani (527,144), (-488,732), (-454, -947) gibi.

Pseudo-random sayı üretecindeki ilk 500 noktanın oluşturduğu kümede bir konveks delik için olası en büyük alan kaçtır?

Cevabınızı bir ondalık basamak olacak şekilde veriniz.

Euler Projesi 251. Soru

Cardano Üçlüleri

Aşağıdaki eşitliği sağlayan bir (a, b, c) üçlüsüne bir Cardano Üçlüsü denir: $$\sqrt[3]{a+b\sqrt{c}}+\sqrt[3]{a-b\sqrt{c}}=1.$$Örneğin (2,1,5) bir Cardano Üçlüsü'dür.

$a+b+c\le 1000$ olacak şekilde 149 adet Cardano Üçlüsü bulunuyor.

$a+b+c\le 110.000.000$ olacak şekilde kaç adet Cardano Üçlüsü bulunur?