Euler Projesi 286. Soru

Puanlama Olasılıkları

Barbara bir matematikçi ve bir basketbol oyuncusu. x mesafesinden atış yaparken skor yapma olasılığının tam olarak (1 - x / q) olduğunu bulmuştur; burada q, 50'den büyük bir reel sabittir.

Her antrenman turu sırasında x = 1, x = 2, ..., x = 50 mesafelerinden atış yapıyor ve kayıtlarına göre toplamda tam olarak 20 skorunu yapmak için tam olarak %2 şansı var.

q'yu bulun ve cevabınızı 10 ondalık basamağa yuvarlayarak verin.

Euler Projesi 285. Soru

Pisagor Olasılığı

Albert pozitif bir tam sayı k seçer, ardından tekdüze dağılımlı [0,1] aralığında rastgele iki reel sayı a, b seçilir. Daha sonra (k·a + 1)² + (k·b + 1)² toplamının karekökü hesaplanır ve en yakın tam sayıya yuvarlanır. Sonuç k'ye eşitse, Albert k puan alır; aksi takdirde hiçbir puan almaz.

Örneğin, k = 6, a = 0,2 ve b = 0,85 ise, (k·a + 1)² + (k·b + 1)² = 42,05.

42,05'in karekökü 6,484'tür ... ve en yakın tam sayıya yuvarlandığında 6 olur.

Bu k'ye eşittir, bu yüzden 6 puan alır.

k = 1, k = 2, ..., k = 10 ile 10 tur oynarsa, beş ondalık basamağa yuvarlanmış toplam puanının beklenen değerinin 10,20914 olduğu gösterilebilir.

k = 1, k = 2, k = 3, ..., k = 105 ile 105 tur oynarsa, beş ondalık basamağa yuvarlanan toplam puanının beklenen değeri kaçtır?

Euler Projesi 284. Soru

Kararlı Kareler 

Ondalık sistemdeki 3 haneli 376 sayısı, karesi aynı rakamlarla biten özel nitelikteki sayılara bir örnektir: 376² = 141376. Bu özelliğe sahip bir sayıya bir kararlı kare diyelim. 

Diğer sayı sistemlerinde de sabit kareler gözlemlenebilir. 14 tabanlı sayı sisteminde, 3 basamaklı c37 sayısı da bir kararlı karedir: c37² = aa0c37 ve aynı sayı sisteminde basamaklarının toplamı c + 3 + 7 = 18'dir. a, b, c ve d harfleri, onaltılık sayı sistemine benzer şekilde sırasıyla 10, 11, 12 ve 13 basamak değerleri için kullanılır. 

1 ≤ n ≤ 9 için, 14 tabanlı sayı sistemindeki tüm n basamaklı kararlı karelerin rakamlarının toplamı 2d8'dir (582 ondalık). Başında 0 bulunan kararlı karelere izin verilmez. 

1 ≤ n ≤ 10000 (ondalık) için 14 tabanlı sayı sistemindeki tüm n basamaklı kararlı karelerin rakamlarının toplamını bulun ve cevabınızı 14 tabanlı sistemde gerekli yerlerde küçük harflerle verin.

Euler Projesi 283. Soru

Alan/çevre oranının integral olduğu tamsayı kenarlı üçgenler

Kenarları 6, 8 ve 10 olan üçgeni düşünün. Hem çevrenin hem de alanın 24'e eşit olduğu görülebilir. Yani alan/çevre oranı 1'e eşittir.

Ayrıca 13, 14 ve 15 kenarlı üçgeni de düşünün. Alan 84'e eşitken çevre 42'ye eşittir. Yani bu üçgen için alan/çevre oranı 2'ye eşittir.

Alan/çevre oranlarının 1000'i geçmeyen pozitif tam sayılara eşit olduğu tüm tamsayı kenarlı üçgenlerin çevrelerinin toplamını bulun.

Euler Projesi 282. Soru

Ackermann fonksiyonu

Negatif olmayan m, n tamsayıları için Ackermann fonksiyonu aşağıdaki gibi tanımlanır:
$$A(m,n)=\{\begin{array}{ll}n+1& \text{ if }m=0\\ A(m-1,1)& \text{ if }m>0\text{ and }n=0\\ A(m-1,A(m,n-1))& \text{ if }m>0\text{ and }n>0 \end{array}$$

$$\begin{array}{l}\end{array}$$Örneğin $A(1,0)=2, A(2,2)=7$ ve $A(3,4)=125$. 

 $\sum_{n=0}^{6}A(n,n)$ değerini bulup cevabı mod 14⁸ olarak veriniz.

Euler Projesi 281. Soru

Pizza Malzemeleri

Size m · n eşit parçaya kesilmiş bir pizza (mükemmel daire) veriliyor ve her dilimde tam olarak bir malzeme olmasını istiyorsunuz.

F(m, n) pizzayı, m farklı malzeme (m ≥ 2) ile, her bir malzemeyi tam olarak n dilimde (n ≥ 1) kullanarak yapabileceğiniz yolların sayısını göstersin. Yansımalar farklı kabul edilirken rotasyonlar farklı kabul edilmemektedir.

Böylece, örneğin, f (2,1) = 1, f (2,2) = f (3,1) = 2 ve f (3,2) = 16.

f (3,2) aşağıda gösterilmiştir:

F (m, n) ≤ 10¹⁵ olacak şekilde tüm f (m, n) toplamlarını bulunuz.

Euler Projesi 280. Soru

Karınca ve tohumlar

Çalışkan bir karınca 5x5 bir ızgarada rastgele yürüyor. Yürüyüş merkezdeki kareden başlıyor. Her adımda karınca ızgara dışına çıkmadan rastgele komşu bir kareye hareket ediyor; dolayısıyla karıncanın konumuna bağlı olarak her adımda 2, 3 veya 4 olasılık mevcuttur.

Yürüyüşe başlarken alttaki satırın her bir karesine bir tohum yerleştirilir. Karınca bir tohum taşımıyorken tohum bulunan alt satırdaki bir kareye ulaştığında, tohumu taşımaya başlar. Sonrasında üst satırda bulunan ulaştığı ilk boş kareye tohumu bırakır.

Tüm tohumların sonuçta üst satırda bırakılmış olmasına kadar geçen adım sayısının beklenen değeri kaçtır? Cevabınızı 6 ondalık basamağa yuvarlayarak veriniz.

Euler Projesi 279. Soru

Kenar uzunlukları ve bir iç açısı tam sayı olan üçgenler

Kenar uzunlukları ve en az bir iç açısı (derece cinsinden) tam sayı olan ve çevre uzunluğu en fazla $10^8$ olan kaç üçgen bulunur?

Euler Projesi 278. Soru

Yarı Asalların Lineer Kombinasyonları

$1<a_1<a_2<...<a_n$ tamsayıları için, sadece $q_k\ge 0$ tamsayı değerleri kullanılarak elde edilen $q_1a_1+q_2a_2+...+q_na_n=b$ lineer kombinasyonunu ele alalım.

Belirli bir $a_k$ kümesi için her $b$ değerinin mümkün olmayabileceğine dikkat edin. Örneğin $a_1=5, a_2=7$ için $b=1,2,3,4,6,8,9,11,13,16,18,23$ değerlerini veren $q_1\ge 0$ ve $q_2\ge 0$ değerleri bulunmamaktadır. Görüldüğü üzere bu koşullarda en büyük imkansız $b$ değeri 23'tür. Bunu $f(5,7)=23$ ile gösterelim.

Benzer şekilde $f(6,10,15)=29$ ve $f(14,22,77)=195$ olacağı gösterilebilir.

$p<q<r<5000$ asalları için $\sum f(pq,pr,qr)$ değeri kaçtır?

Euler Projesi 277. Soru

Uyarlanmış Bir Collatz Dizisi

Bir $a_1$ başlama değeri ile uyarlanmış bir Collatz dizisi aşağıdaki şekilde elde edilir:
$a_{n+1}=\frac{a_n}{3}$, eğer $a_n$ 3'ün katıysa. Bunu aşağı yönlü büyük bir "D" adımı olarak belirteceğiz.
$a_{n+1}=\frac{4a_{n}+2}{3}$, eğer $a_n$'nin 3'le bölümünden kalan 1 ise. Bunu yukarı yönlü bir "U" adımı olarak belirteceğiz.
$a_{n+1}=\frac{2a_{n}-1}{3}$, eğer $a_n$'nin 3'le bölümünden kalan 2 ise. Bunu aşağı yönlü küçük bir "U" adımı olarak belirteceğiz.
$a_n=1$ olduğunda ise dizi sonlanacak.
Herhangi bir tam sayı ile başlayıp adım dizisini oluşturabiliriz.
Örneğin $a_1=231$ ise dizi $(a_n)=\{231,77,51,17,11,7,10,14,9,3,1\}$ ve karşılık gelen adım dizisi "DdDddUUdDD" olur.
Elbette aynı "DdDddUUdDD" adım dizisi ile başlayan başka diziler de mevcuttur.
Örneğin $a_1=1004064$ ise adım dizisi "DdDddUUdDDDdUDUUUdDdUUDDDUdDD" olur.
Aslında  DdDddUUdDD ile başlayan olası en küçük $a_1>10^6$ sayısı 1004064'tür.

UDDDUdddDDUDDddDdDddDDUDDdUUDd ile başlayan olası en küçük $a_1>10^{15}$ sayısı kaçtır?

Euler Projesi 276. Soru

İlkel Üçgenler

Kenar uzunlukları a, b ve c ($a\le b\le c$) tam sayıları olan üçgenleri düşünün.
Tam sayı kenar uzunluklarına sahip herhangi bir üçgen GCD(a,b,c)=1 ise ilkel olarak adlandırılır.
Çevre uzunluğu 10.000.000'dan fazla olmayan kaç adet tam sayı kenarlı ilkel üçgen bulunur?

Euler Projesi 275. Soru

Dengeli Yapılar

n mertebeli dengeli bir yapıyı aşağıdaki şekilde tanımlayalım:

• Bloklardan (n adet karo) ve kaide (kalan karo) olarak bilinen n+1 karodan oluşan bir polyomino;
• kaidenin merkezi (x=0, y=0) konumunda;
• blokların ordinatları sıfırdan büyük (yani kaide en altta kalan tek karo);
• tüm karoların oluşturduğu şeklin kütle merkezi 0 apsislidir.

Yapıları sayarken sadece y-eksenine göre simetrik olanlar aynı kabul edilirler. Örneğin 6 mertebeli 18 dengeli yapı aşağıda gösterilmiştir. Y-eksenine göre simetrik olanların tek bir yapı olarak sayıldığına dikkat edin:

10 mertebeli 964 ve 15 mertebeli 360505 dengeli yapı bulunmaktadır.

18 mertebeli kaç dengeli yapı mevcuttur?

Euler Projesi 274. Soru

Bölünebilirlik Çarpanları

10 ile aralarında asal olan her $p<1$ tam sayısı için aşağıda $n$ pozitif tam sayına bağlı verilen fonksiyonun $p$ ile bölünebilirliği koruyan bir pozitif $m<p$ bölünebilirlik çarpanı mevcuttur:

$f(n)=(n$'nin son basamağı dışında hepsi$)+(n$'nin son basamağı$)*m$

Yani, eğer $m$ sayısı $p$'nin bölünebilirlik çarpanı ise, bu durumda $f(n)$'nin $p$ ile bölünebilir olmasının gerek ve yeter şartı $n$'nin $p$ ile bölünebilir olmasıdır.

($n$ sayısı $p$'den çok büyük olduğunda $f(n)$ $n$'den küçük olacaktır ve $f$'nin tekrarlı uygulaması $p$ için bir çarpımsal bölünebilirlik testi sağlayacaktır.)

Örneğin 113 için bölünebilirlik çarpanı 34.

$f$(76275) = 7627 + 5 * 34 = 7797: 76275 ve 7797 sayılarının ikisi de 113 ile bölünebilir.
$f$(12345) = 1234 + 5 * 34 = 1404: 12345 ve 1404 sayılarının ikisi de 113 ile bölünebilir değil.

10 ile aralarında asal ve 1000'den küçük asallar için bölünebilirlik çarpanlarının toplamı 39517. 10 ile aralarında asal ve $10^7$'den küçük asallar için bölünebilirlik çarpanlarının toplamı kaçtır?

Euler Projesi 273. Soru

Kareler Toplamı

Şu şekilde tanımlı denklemleri düşünün: $a^2+b^2=N,\, a,b$ ve $N$ tam sayı.

N=65 için iki çözüm mevcut:

$a=1,b=8$ ve $a=4,b=7$.

Yukarıda tanımlanan denklem kümesinin tüm çözümlerinde $a$ değerlerinin toplamına S(N) diyelim.

Bu durumda $S(65)=1+4=5$.

$4k+1<150$ olmak üzere sadece $4k+1$ formundaki asallarla bölünebilen tüm kare-bağımsız $N$ sayıları için $\sum S(N)$ kaçtır?

Euler Projesi 272. Soru

Modüler Küpler, kısım 2

Bir pozitif n sayısı için $1<x<n$ ve $x^3\equiv 1$ mod n olmak üzere x tam sayılarının sayısı C(n) ile tanımlansın.

n=91 iken x için 8 olası değer mevcut:  9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81.
Yani, C(91)=8.

C(n)=242 olan tüm $n\leq 10^{11}$ pozitif sayılarının toplamını bulunuz.

Euler Projesi 271. Soru

Modüler Küpler, kısım 1

Bir pozitif n sayısı için $1<x<n$ ve $x^3\equiv 1$ mod n olmak üzere x tam sayılarının toplamı S(n) ile tanımlansın.

n=91 iken x için 8 olası değer mevcut:  9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81.
Yani, S(91)=9+16+22+29+53+74+79+81=363.

S(13082761331670030) kaçtır?

Euler Projesi 270. Soru

Kare kesme

Tam sayı N × N boyutlu kare bir kağıt parçası, bir köşesi başlangıç noktasında ve iki kenarı da x ve y eksenleri üzerinde olacak şekilde yerleştiriliyor. Ardından aşağıdaki kurallara uyarak bu kareyi kesiyoruz:

• Sadece karenin farklı kenarlarında bulunan ve tam sayı koordinatlarına sahip iki nokta arasında uzanan düz kesimler yapıyoruz.
• İki kesim kesişemez, ancak kesimler aynı kenar noktasında buluşabilir.
• Daha fazla kurallı kesme yapılamayana kadar kesmeye devam edin.

Herhangi bir yansımayı veya dönüşümü farklı sayarsak, N x N karesini kesme yollarının sayısını C(N) ile tanımlayalım. Örneğin C(1) = 2 ve C(2) = 30 (aşağıda gösterilmiştir).

C(30) mod 10⁸ kaçtır?

Euler Projesi 269. Soru

En az bir tam sayı köke sahip polinomlar

P(x)=0 denkleminin bir çözümüne P(x) polinomunun bir kökü ya da sıfırı denir.
Bir n sayısının basamaklarını katsayı kabul eden polinomu P_n ile gösterelim.
Örneğin P₅₇₀₃(x)=5x³+7x²+3.

Şunları gösterebiliriz:

• P_n(0), n sayısının son basamağıdır.
• P_n(1), n sayısının basamakları toplamıdır.
• P_n(10), n sayısıdır.

k sayısından küçük, P_n polinomunun en az bir kökünün olduğu n pozitif tam sayılarının adedini Z(k) ile tanımlayalım.

Z(100.000)=14696 olduğu doğrulanabilir.

Z(10¹⁶) kaçtır?

Euler Projesi 268. Soru

100'den küçük en az dört farklı asal çarpanı bulunan sayıları sayma

100'den küçük en az dört farklı asal çarpanı bulunan 1000'den küçük 23 pozitif tam sayı bulunduğu gösterilebilir.

100'den küçük en az dört farklı asal çarpanı bulunan 10¹⁶'dan küçük kaç pozitif tam sayı vardır?

Euler Projesi 267. Soru

Milyarder

Size eşsiz bir yatırım fırsatı veriliyor.

1 £ sermaye ile başlayarak bir hilesiz para atma olayında 1000 atış için her seferinde sermayenizin sabit bir f oranını seçip bahse girebilirsiniz.

Tura için bahsinizin iki katı kadar kazanırken yazı için bahisiniz kadarını kaybedersiniz.

Örneğin eğer f = 1/4 ise ilk atış için bahsiniz 0,25 £ olurken, eğer tura gelirse 0,5 £ kazanırsınız ve 1,5 £ paranız olur. Daha sonra bahsiniz 0,375 £ olurken eğer ikinci atış yazı ise 1,125 £ paranız kalır.

1000 atıştan sonra en az 1.000.000.000 £ kazanma şansınızı en üst düzeye çıkaracak şekilde f seçimi yaparsanız milyarder olma şansınız nedir?

Tüm hesaplamaların tam olduğu (yuvarlama olmadığı) kabul edilir, ancak cevabınızı 0,abcdefghijkl biçiminde 12 ondalık basamağa yuvarlayarak veriniz.