Euler Projesi 285. Soru

Pisagor Olasılığı

Albert pozitif bir tam sayı k seçer, ardından tekdüze dağılımlı [0,1] aralığında rastgele iki reel sayı a, b seçilir. Daha sonra (k·a + 1)² + (k·b + 1)² toplamının karekökü hesaplanır ve en yakın tam sayıya yuvarlanır. Sonuç k'ye eşitse, Albert k puan alır; aksi takdirde hiçbir puan almaz.

Örneğin, k = 6, a = 0,2 ve b = 0,85 ise, (k·a + 1)² + (k·b + 1)² = 42,05.

42,05'in karekökü 6,484'tür ... ve en yakın tam sayıya yuvarlandığında 6 olur.

Bu k'ye eşittir, bu yüzden 6 puan alır.

k = 1, k = 2, ..., k = 10 ile 10 tur oynarsa, beş ondalık basamağa yuvarlanmış toplam puanının beklenen değerinin 10,20914 olduğu gösterilebilir.

k = 1, k = 2, k = 3, ..., k = 105 ile 105 tur oynarsa, beş ondalık basamağa yuvarlanan toplam puanının beklenen değeri kaçtır?

Cevap: 157055,80999

C/C++: const double PI = acos(0.)*2; double area( double rad ) { double x = sqrt( rad*rad - 1*1 ); // circle touches (x,1) double phi = PI/4 - asin( 1/rad ); return phi*rad*rad - x + 1; } double prob( __int64 k ) { if ( k == 1 ) return area(1.5); return ( area(k+.5)-area(k-.5) ) / ( k*k ); } void main() { double tot = 0; for ( int k = 1; k <= 100000; k++ ) tot += k * prob( k ); cout.precision( 12 ); cout << tot << endl; } Matlab: score = 0; for k = 2:10^5, if(mod(k,100) == 0) disp = k end r1 = 1+1/(2*k); r2 = 1-1/(2*k); theta1 = pi/2 - 2*asin(2/(2*k+1)); theta2 = pi/2 - 2*asin(2/(2*k-1)); s1 = sqrt(r1^2-1/k^2)-1/k; s2 = sqrt(r2^2-1/k^2)-1/k; A1 = (1/2)*r1^2*(theta1 - sin(theta1)) + (1/2)*s1^2; A2 = (1/2)*r2^2*(theta2 - sin(theta2)) + (1/2)*s2^2; score = score + k*(A1-A2); end k = 1; r1 = 1+1/(2*k); theta1 = pi/2 - 2*asin(2/(2*k+1)); s1 = sqrt(r1^2-1/k^2)-1/k; A1 = (1/2)*r1^2*(theta1 - sin(theta1)) + (1/2)*s1^2; score = score + A1; Perl: use Math::Trig; sub A{ my $r=shift; return 0 if $r<1; my $a=2*acos(1/$r)-pi()/2; return (sqrt($r*$r-1)-1)**2/2 + $r*$r*($a-sin($a))/2; } sub K{ my $k=shift; return (A($k+.5) - A($k-.5))/($k*$k); } $s=0; $s+=$_*K($_) for 1..100000; print $s; OCaml: let pi_4 = atan 1. (* area of the portion of circle with center (-c,-c) and radius r for which x>=0 and y>=0 *) let area c r = assert (0. < c && c < r); let x_plus_c = sqrt (r *. r -. c *. c) in let x = x_plus_c -. c in let tanb = c /. x_plus_c in let beta = atan tanb in let alpha_2 = pi_4 -. beta in alpha_2 *. r *. r -. x *. c let small k = area (1. /. float k) (1. -. 1. /. (float (2 * k))) let big k = area (1. /. float k) (1. +. 1. /. (float (2 * k))) let e k = if k = 1 then big 1 else big k -. small k let () = let s = ref 0. in for k = 1 to 100_000 do s := !s +. float k *. e k done; Format.printf "%.6f@." !s