Euler Projesi 285. Soru

Pisagor Olasılığı

Albert pozitif bir tam sayı k seçer, ardından tekdüze dağılımlı [0,1] aralığında rastgele iki reel sayı a, b seçilir. Daha sonra (k·a + 1)² + (k·b + 1)² toplamının karekökü hesaplanır ve en yakın tam sayıya yuvarlanır. Sonuç k'ye eşitse, Albert k puan alır; aksi takdirde hiçbir puan almaz.

Örneğin, k = 6, a = 0,2 ve b = 0,85 ise, (k·a + 1)² + (k·b + 1)² = 42,05.

42,05'in karekökü 6,484'tür ... ve en yakın tam sayıya yuvarlandığında 6 olur.

Bu k'ye eşittir, bu yüzden 6 puan alır.

k = 1, k = 2, ..., k = 10 ile 10 tur oynarsa, beş ondalık basamağa yuvarlanmış toplam puanının beklenen değerinin 10,20914 olduğu gösterilebilir.

k = 1, k = 2, k = 3, ..., k = 105 ile 105 tur oynarsa, beş ondalık basamağa yuvarlanan toplam puanının beklenen değeri kaçtır?

Euler Projesi 280. Soru

Karınca ve tohumlar

Çalışkan bir karınca 5x5 bir ızgarada rastgele yürüyor. Yürüyüş merkezdeki kareden başlıyor. Her adımda karınca ızgara dışına çıkmadan rastgele komşu bir kareye hareket ediyor; dolayısıyla karıncanın konumuna bağlı olarak her adımda 2, 3 veya 4 olasılık mevcuttur.

Yürüyüşe başlarken alttaki satırın her bir karesine bir tohum yerleştirilir. Karınca bir tohum taşımıyorken tohum bulunan alt satırdaki bir kareye ulaştığında, tohumu taşımaya başlar. Sonrasında üst satırda bulunan ulaştığı ilk boş kareye tohumu bırakır.

Tüm tohumların sonuçta üst satırda bırakılmış olmasına kadar geçen adım sayısının beklenen değeri kaçtır? Cevabınızı 6 ondalık basamağa yuvarlayarak veriniz.

Euler Projesi 273. Soru

Kareler Toplamı

Şu şekilde tanımlı denklemleri düşünün: $a^2+b^2=N,\, a,b$ ve $N$ tam sayı.

N=65 için iki çözüm mevcut:

$a=1,b=8$ ve $a=4,b=7$.

Yukarıda tanımlanan denklem kümesinin tüm çözümlerinde $a$ değerlerinin toplamına S(N) diyelim.

Bu durumda $S(65)=1+4=5$.

$4k+1<150$ olmak üzere sadece $4k+1$ formundaki asallarla bölünebilen tüm kare-bağımsız $N$ sayıları için $\sum S(N)$ kaçtır?

Euler Projesi 234. Soru

Yarıbölünebilir Sayılar

Bir n ≥ 4 tam sayısı için n'nin lps(n) ile gösterilen alt asal karekökünü en büyük asal ≤ √n ve n'nin ups(n) ile gösterilen üst asal karekökünü en küçük asal sayı ≥ √n olarak tanımlarız.

Yani, örneğin, lps (4) = 2 = up (4), lps (1000) = 31, ups (1000) = 37.
lps(n) ve ups(n)'den sadece biri n'yi bölüyorsa n ≥ 4 tam sayısına yarıbölünebilir sayı diyelim.

15'i aşmayan yarıbölünebilir sayıların toplamı 30'dur; bunlar 8, 10 ve 12'dir.
15, hem lps(15) = 3 hem de ups(15) = 5'in bir katı olduğu için yarıbölünebilir değildir.
Başka bir örnek olarak, 1000'e kadar olan 92 yarıbölünebilir sayının toplamı 34825'tir.

999966663333'ü aşmayan tüm yarıbölünebilir sayıların toplamı nedir?

Euler Projesi 232. Soru

Yarış

İki oyuncu hileli bir parayı sırasıyla kullanarak "Yarış" oyununu oynuyorlar. Oyuncu 1 parayı bir kere atıyor: Tura gelirse, 1 puan alıyor; yazı gelirse puan almıyor. Oyuncu 2 bir T pozitif tam sayı seçip parayı bu sayıda atıyor: Hepsi tura gelirse 2^T-1 puan alıyor; aksi takdirde puan almıyor. İlk Oyuncu 1 başlıyor. 100 veya daha fazla puan alan kazanıyor.

Her sıra geldiğinde Oyuncu 2 bir T sayısı seçerek kazanma olasılığını maksimize etmek istiyor.

Oyuncu 2'nin kazanma olasılığı nedir?

Cevabınızı 8 ondalık basamağa kadar 0, abcdefgh biçiminde veriniz.

Euler Projesi 226. Soru

Pelte Kepçesi

Bir pelte eğrisi, s(x) = "x'ten en yakın tam sayıya olan uzaklık" olmak üzere $0\le x\le 1$ için $$y=\sum_{n=0}^{\infty} [\frac{s(2^nx)}{2^n}],$$ eşitliğini sağlayan (x,y) noktalarının kümesidir.

Pelte eğrisinin altındaki alan 1/2 dir (şekilde pembe alan).

Merkezi (1/4,1/2) ve yarıçapı 1/4 olan çember C olsun (şekilde siyah çember).

Pelte eğrisinin altındaki alanın ne kadarı C'nin içinde kalır? Cevabınızı 0,abcdefgh şeklinde 8 ondalık basamağa kadar veriniz.

Euler Projesi 225. Soru

Tribonacci bölmeyenleri

1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, 193, 355, 653, 1201 ... dizisi $T_1=T_2=T_3=1$ ve $T_n=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}$ şeklinde tanımlanıyor.
Şimdi 27 sayısının bu dizinin hiçbir terimini bölmeyeceği gösterilebilir.
Aslında 27 sayısı bu özelliğe sahip ilk sayıdır.

Yukarıdaki dizinin hiçbir terimini bölmeyen 124. tek sayıyı bulunuz.

Euler Projesi 222. Soru

Küre Paketleme

Yarıçapları 30 mm, 31 mm, ..., 50 mm olan 21 topu tam olarak içine alabilecek iç yarıçapı 50 mm olan en kısa borunun uzunluğu nedir?

Cevabınızı en yakın tamsayıya yuvarlanmış halde mikrometre ($10^{-1}$ m) cinsinden veriniz?

Euler Projesi 204. Soru

5 ten büyük asal çarpanı olmayan bir pozitif sayıya bir Hamming sayısı denir. Hamming sayıları 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, ... şeklinde verilebilir. 10⁸ den küçük 1105 tane Hamming sayısı vardır.

n den büyük asal çarpanı olmayan bir pozitif sayıya bir n-tipinde genelleştirilmiş Hamming sayısı denir. Dolayısıyla Hamming sayıları aslında 5-tipinde genelleştirilmiş Hamming sayılarıdır.

Şimdi, 10⁹ dan küçük 100-tipinde kaç tane genelleştirilmiş Hamming sayısı vardır?

Euler Projesi 202. Soru

Üç ayna yansıtıcı yüzeyleri iç bölgeyi gösterecek şekilde bir eşkenar üçgen formunda yerleştirilmiştir (Şekil). Her köşede ise sadece bir lazer ışınının geçebileceği kadar büyüklükte boşluk bırakılmıştır.

Köşeleri A,B ve C olarak etiketlenen üçgende, bir lazer ışınının C köşesinden girip 11 kere yüzeyden yansıyıp tekrar aynı köşeden çıkabilmesinin 2 yolu vardır: bir yolu şekilde gösterilmiş, diğeri ise bunun tersi yöndedir.

Aynı şekilde C köşesinden giren bir lazer ışınının 1000001 kere yüzeylerden yansıyıp aynı köşeden çıkabilmesinin ise 80840 yolu vardır.

C köşesinden giren bir lazer ışınının 12017639147 kere yüzeylerden yansıyıp aynı köşeden çıkabilmesinin kaç yolu vardır?

Euler Projesi 201. Soru

Herhangi bir A sayı kümesi için, A kümesinin elemanları toplamı sum(A) ile gösterilsin. Örneğin, B = {1,3,6,8,10,11} kümesi için sum(A) = 39 dur. B kümesinin üç elemanlı 20 alt kümesi vardır ve bunların toplamları şu şekildedir:
sum({1,3,6}) = 10,
sum({1,3,8}) = 12,
sum({1,3,10}) = 14,
sum({1,3,11}) = 15,
sum({1,6,8}) = 15,
sum({1,6,10}) = 17,
sum({1,6,11}) = 18,
sum({1,8,10}) = 19,
sum({1,8,11}) = 20,
sum({1,10,11}) = 22,
sum({3,6,8}) = 17,
sum({3,6,10}) = 19,
sum({3,6,11}) = 20,
sum({3,8,10}) = 21,
sum({3,8,11}) = 22,
sum({3,10,11}) = 24,
sum({6,8,10}) = 24,
sum({6,8,11}) = 25,
sum({6,10,11}) = 27,
sum({8,10,11}) = 29.
Görüldüğü üzere bazı toplamlar bir defa, bazıları çok defa gerçekleşmiştir.
Herhangi bir A kümesi için, k-elemanlı alt kümelerin bir defa gerçekleşen toplamları kümesi U(A,k) ile gösterilsin. Örneğe göre U(B,3) = {10,12,14,18,21,25,27,29} ve sum(U(B,3)) = 156 olur.
Şimdi, 100 elemanlı S = {1², 2², ... , 100²} kümesi ele alınsın. S kümesinin 50-elemanlı alt kümeleri sayısı 100891344545564193334812497256 dır.Buna göre sum(U(S,50)) kaçtır?