Euler Projesi 285. Soru

Pisagor Olasılığı

Albert pozitif bir tam sayı k seçer, ardından tekdüze dağılımlı [0,1] aralığında rastgele iki reel sayı a, b seçilir. Daha sonra (k·a + 1)² + (k·b + 1)² toplamının karekökü hesaplanır ve en yakın tam sayıya yuvarlanır. Sonuç k'ye eşitse, Albert k puan alır; aksi takdirde hiçbir puan almaz.

Örneğin, k = 6, a = 0,2 ve b = 0,85 ise, (k·a + 1)² + (k·b + 1)² = 42,05.

42,05'in karekökü 6,484'tür ... ve en yakın tam sayıya yuvarlandığında 6 olur.

Bu k'ye eşittir, bu yüzden 6 puan alır.

k = 1, k = 2, ..., k = 10 ile 10 tur oynarsa, beş ondalık basamağa yuvarlanmış toplam puanının beklenen değerinin 10,20914 olduğu gösterilebilir.

k = 1, k = 2, k = 3, ..., k = 105 ile 105 tur oynarsa, beş ondalık basamağa yuvarlanan toplam puanının beklenen değeri kaçtır?

Euler Projesi 267. Soru

Milyarder

Size eşsiz bir yatırım fırsatı veriliyor.

1 £ sermaye ile başlayarak bir hilesiz para atma olayında 1000 atış için her seferinde sermayenizin sabit bir f oranını seçip bahse girebilirsiniz.

Tura için bahsinizin iki katı kadar kazanırken yazı için bahisiniz kadarını kaybedersiniz.

Örneğin eğer f = 1/4 ise ilk atış için bahsiniz 0,25 £ olurken, eğer tura gelirse 0,5 £ kazanırsınız ve 1,5 £ paranız olur. Daha sonra bahsiniz 0,375 £ olurken eğer ikinci atış yazı ise 1,125 £ paranız kalır.

1000 atıştan sonra en az 1.000.000.000 £ kazanma şansınızı en üst düzeye çıkaracak şekilde f seçimi yaparsanız milyarder olma şansınız nedir?

Tüm hesaplamaların tam olduğu (yuvarlama olmadığı) kabul edilir, ancak cevabınızı 0,abcdefghijkl biçiminde 12 ondalık basamağa yuvarlayarak veriniz.

Euler Projesi 266. Soru

Sözde Karekök

12 sayısının bölenleri: 1,2,3,4,6 ve 12.
12'nin karekökünü geçmeyen en büyük böleni 3.
Bir n sayısının karekökünü geçmeyen en büyük bölenine, bu sayının sözde karekökü (PSR) diyelim.
Bu durumda PSR(3102)=47 olduğu görülebilir.

190'dan küçük asal sayıların çarpımı p olsun.
PSR(p) mod 10¹⁶ kaçtır?