Euler Projesi 285. Soru

Pisagor Olasılığı

Albert pozitif bir tam sayı k seçer, ardından tekdüze dağılımlı [0,1] aralığında rastgele iki reel sayı a, b seçilir. Daha sonra (k·a + 1)² + (k·b + 1)² toplamının karekökü hesaplanır ve en yakın tam sayıya yuvarlanır. Sonuç k'ye eşitse, Albert k puan alır; aksi takdirde hiçbir puan almaz.

Örneğin, k = 6, a = 0,2 ve b = 0,85 ise, (k·a + 1)² + (k·b + 1)² = 42,05.

42,05'in karekökü 6,484'tür ... ve en yakın tam sayıya yuvarlandığında 6 olur.

Bu k'ye eşittir, bu yüzden 6 puan alır.

k = 1, k = 2, ..., k = 10 ile 10 tur oynarsa, beş ondalık basamağa yuvarlanmış toplam puanının beklenen değerinin 10,20914 olduğu gösterilebilir.

k = 1, k = 2, k = 3, ..., k = 105 ile 105 tur oynarsa, beş ondalık basamağa yuvarlanan toplam puanının beklenen değeri kaçtır?

Euler Projesi 273. Soru

Kareler Toplamı

Şu şekilde tanımlı denklemleri düşünün: $a^2+b^2=N,\, a,b$ ve $N$ tam sayı.

N=65 için iki çözüm mevcut:

$a=1,b=8$ ve $a=4,b=7$.

Yukarıda tanımlanan denklem kümesinin tüm çözümlerinde $a$ değerlerinin toplamına S(N) diyelim.

Bu durumda $S(65)=1+4=5$.

$4k+1<150$ olmak üzere sadece $4k+1$ formundaki asallarla bölünebilen tüm kare-bağımsız $N$ sayıları için $\sum S(N)$ kaçtır?

Euler Projesi 257. Soru

Açıortaylar

Aşağıda kenar uzunlukları a ≤ b ≤ c tam sayıları olan bir ABC üçgeni veriliyor. (AB = c, BC = a ve AC = b).
Üçgenin açıortayları kenarları E, F ve G noktalarında kesiyor (aşağıdaki resme bakınız).

EF, EG ve FG segmentleri ABC üçgenini dört küçük üçgene böler: AEG, BFE, CGF ve EFG.
Bu dört üçgenin her biri için alan(ABC)/alan(alt üçgen) oranının rasyonel olduğu kanıtlanabilir.
Bununla birlikte, bu oranların bir kısmının veya tamamının tam sayı olduğu üçgenler vardır.

Alan(ABC)/alan(AEG) oranı tam sayı olacak şekilde çevre uzunluğu ≤100.000.000 olan kaç ABC üçgeni vardır?

Euler Projesi 235. Soru

Bir Aritmetik Geometrik Dizi


Aritmetik-geometrik u(k) = (900-3k)r^k-1 dizisi verilsin.
s(n) = Σ_{k = 1 ... n}u(k) olsun.

s(5000) = -600.000.000.000 için r değerini bulunuz.

Cevabınızı 12 ondalık basamağa göre yuvarlayınız.

Euler Projesi 228. Soru

Minkowski Toplamları

$S_n$, $v_k (k=1,2,...,n)$ köşelerinin koordinatları

$x_k=cos(\frac{2k-1}{n} \times 180^o)$

$y_k=sin(\frac{2k-1}{n} \times 180^o)$

olan düzgün k-kenarlı bir çokgen -bir şekil- olsun.

Her  $S_n$ çokgeni, hem üzerindeki hem de iç bölgesindeki noktaları kapsayan birer şekil olarak tanımlanıyor.

İki S ve T şeklinin S+T Minkowski toplamı, S ile T'nin her noktasının koordinatsal olarak toplanmasıyla elde ediliyor: (u,v)+(x,y)=(u+x,v+y).

Örneğin $S_3$ ile $S_4$ şekillerinin toplamı aşağıda pembe renkle verilen altı-kenarlı şekildir:

$S_{1864}+S_{1865}+...+S_{1909}$ toplamı kaç kenarlıdır?

Euler Projesi 225. Soru

Tribonacci bölmeyenleri

1, 1, 1, 3, 5, 9, 17, 31, 57, 105, 193, 355, 653, 1201 ... dizisi $T_1=T_2=T_3=1$ ve $T_n=T_{n-1}+T_{n-2}+T_{n-3}$ şeklinde tanımlanıyor.
Şimdi 27 sayısının bu dizinin hiçbir terimini bölmeyeceği gösterilebilir.
Aslında 27 sayısı bu özelliğe sahip ilk sayıdır.

Yukarıdaki dizinin hiçbir terimini bölmeyen 124. tek sayıyı bulunuz.

Euler Projesi 222. Soru

Küre Paketleme

Yarıçapları 30 mm, 31 mm, ..., 50 mm olan 21 topu tam olarak içine alabilecek iç yarıçapı 50 mm olan en kısa borunun uzunluğu nedir?

Cevabınızı en yakın tamsayıya yuvarlanmış halde mikrometre ($10^{-1}$ m) cinsinden veriniz?