Euler Projesi 274. Soru

Bölünebilirlik Çarpanları

10 ile aralarında asal olan her $p<1$ tam sayısı için aşağıda $n$ pozitif tam sayına bağlı verilen fonksiyonun $p$ ile bölünebilirliği koruyan bir pozitif $m<p$ bölünebilirlik çarpanı mevcuttur:

$f(n)=(n$'nin son basamağı dışında hepsi$)+(n$'nin son basamağı$)*m$

Yani, eğer $m$ sayısı $p$'nin bölünebilirlik çarpanı ise, bu durumda $f(n)$'nin $p$ ile bölünebilir olmasının gerek ve yeter şartı $n$'nin $p$ ile bölünebilir olmasıdır.

($n$ sayısı $p$'den çok büyük olduğunda $f(n)$ $n$'den küçük olacaktır ve $f$'nin tekrarlı uygulaması $p$ için bir çarpımsal bölünebilirlik testi sağlayacaktır.)

Örneğin 113 için bölünebilirlik çarpanı 34.

$f$(76275) = 7627 + 5 * 34 = 7797: 76275 ve 7797 sayılarının ikisi de 113 ile bölünebilir.
$f$(12345) = 1234 + 5 * 34 = 1404: 12345 ve 1404 sayılarının ikisi de 113 ile bölünebilir değil.

10 ile aralarında asal ve 1000'den küçük asallar için bölünebilirlik çarpanlarının toplamı 39517. 10 ile aralarında asal ve $10^7$'den küçük asallar için bölünebilirlik çarpanlarının toplamı kaçtır?

Euler Projesi 242. Soru

Tek Üçlüler

{1,2, ..., n} kümesi verildiğinde f(n, k) değerini, kümenin toplamları tek olan k-elemanlı alt kümelerinin sayısı olarak tanımlarız. Örneğin f(5,3) = 4, çünkü {1,2,3,4,5} kümesinin, tek toplama sahip dört adet 3-elemanlı alt kümesi vardır: {1,2,4}, { 1,3,5}, {2,3,4} ve {2,4,5}.

n, k ve f(n, k) değerlerinin üçü de tek olduğunda, bir [n, k, f(n, k)] tek üçlüsünü oluşturduklarını söyleriz.

n ≤ 10 için tam olarak beş adet tek üçlü vardır: [1,1, f(1,1) = 1], [5,1, f(5,1) = 3], [5,5, f(5,5) = 1], [9,1, f(9,1) = 5] ve [9,9, f(9,9) = 1].

n ≤ 10¹² için kaç tek üçlü vardır?