Euler Projesi 283. Soru

Alan/çevre oranının integral olduğu tamsayı kenarlı üçgenler

Kenarları 6, 8 ve 10 olan üçgeni düşünün. Hem çevrenin hem de alanın 24'e eşit olduğu görülebilir. Yani alan/çevre oranı 1'e eşittir.

Ayrıca 13, 14 ve 15 kenarlı üçgeni de düşünün. Alan 84'e eşitken çevre 42'ye eşittir. Yani bu üçgen için alan/çevre oranı 2'ye eşittir.

Alan/çevre oranlarının 1000'i geçmeyen pozitif tam sayılara eşit olduğu tüm tamsayı kenarlı üçgenlerin çevrelerinin toplamını bulun.

Euler Projesi 280. Soru

Karınca ve tohumlar

Çalışkan bir karınca 5x5 bir ızgarada rastgele yürüyor. Yürüyüş merkezdeki kareden başlıyor. Her adımda karınca ızgara dışına çıkmadan rastgele komşu bir kareye hareket ediyor; dolayısıyla karıncanın konumuna bağlı olarak her adımda 2, 3 veya 4 olasılık mevcuttur.

Yürüyüşe başlarken alttaki satırın her bir karesine bir tohum yerleştirilir. Karınca bir tohum taşımıyorken tohum bulunan alt satırdaki bir kareye ulaştığında, tohumu taşımaya başlar. Sonrasında üst satırda bulunan ulaştığı ilk boş kareye tohumu bırakır.

Tüm tohumların sonuçta üst satırda bırakılmış olmasına kadar geçen adım sayısının beklenen değeri kaçtır? Cevabınızı 6 ondalık basamağa yuvarlayarak veriniz.

Euler Projesi 274. Soru

Bölünebilirlik Çarpanları

10 ile aralarında asal olan her $p<1$ tam sayısı için aşağıda $n$ pozitif tam sayına bağlı verilen fonksiyonun $p$ ile bölünebilirliği koruyan bir pozitif $m<p$ bölünebilirlik çarpanı mevcuttur:

$f(n)=(n$'nin son basamağı dışında hepsi$)+(n$'nin son basamağı$)*m$

Yani, eğer $m$ sayısı $p$'nin bölünebilirlik çarpanı ise, bu durumda $f(n)$'nin $p$ ile bölünebilir olmasının gerek ve yeter şartı $n$'nin $p$ ile bölünebilir olmasıdır.

($n$ sayısı $p$'den çok büyük olduğunda $f(n)$ $n$'den küçük olacaktır ve $f$'nin tekrarlı uygulaması $p$ için bir çarpımsal bölünebilirlik testi sağlayacaktır.)

Örneğin 113 için bölünebilirlik çarpanı 34.

$f$(76275) = 7627 + 5 * 34 = 7797: 76275 ve 7797 sayılarının ikisi de 113 ile bölünebilir.
$f$(12345) = 1234 + 5 * 34 = 1404: 12345 ve 1404 sayılarının ikisi de 113 ile bölünebilir değil.

10 ile aralarında asal ve 1000'den küçük asallar için bölünebilirlik çarpanlarının toplamı 39517. 10 ile aralarında asal ve $10^7$'den küçük asallar için bölünebilirlik çarpanlarının toplamı kaçtır?

Euler Projesi 272. Soru

Modüler Küpler, kısım 2

Bir pozitif n sayısı için $1<x<n$ ve $x^3\equiv 1$ mod n olmak üzere x tam sayılarının sayısı C(n) ile tanımlansın.

n=91 iken x için 8 olası değer mevcut:  9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81.
Yani, C(91)=8.

C(n)=242 olan tüm $n\leq 10^{11}$ pozitif sayılarının toplamını bulunuz.

Euler Projesi 245. Soru

Eşdirenç

Sadeleştirilemeyen bir kesre 'dirençli' kesir adı verilir. Bir d doğal sayısı için, paydası d olan tüm dirençli basit kesirlerin sayısının tamamına oranı R(d) olsun; örneğin R(12)=4/11.

Bu durumda d>1 sayısının direnci $φ(d)/(d-1)$ ile tanımlanır. Burada φ, Euler totient fonksiyonudur.

Ayrıca bir n>1 sayısının eşdirencini $C(n)=[n-φ(n)]/(n-1)$ olarak tanımlanır. Bir p asal sayısının eşdirenci $C(p)=1/(p-1)$ olur.

$1<n \le 2\times 10^{11}$ için C(n) bir birim kesir olacak şekilde tüm bileşik n tam sayılarının toplamını bulunuz.

Euler Projesi 231. Soru

Binom Katsayıların Asal Çarpanlara Ayrılması

Binom katsayısı ¹⁰C₃ = 120.
120 = 2³ × 3 × 5 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 ve 2 + 2 + 2 + 3 + 5 = 14.
Böylece ¹⁰C₃ binom katsayısının asal çarpanlara ayırmasındaki terimler toplamı 14.

  ^20000000C_15000000 binom katsayısının asal çarpanlara ayırmasındaki terimler toplamı kaçtır?

Euler Projesi 224. Soru

Hemen Hemen Dik Üçgenler II

Kenar uzunlukları tam sayılar olan bir üçgen için $a \le b \le c$ olsun. Eğer $a^2+b^2=c^2-1$ eşitliği sağlanıyorsa bu üçgene hemen hemen geniş açılı denir.

Çevre $\le 75000000$ şartını sağlayan kaç adet hemen hemen geniş açılı üçgen vardır?

Euler Projesi 223. Soru

Hemen Hemen Dik Üçgenler I

Kenar uzunlukları tamsayı olan ve $a\le b\le c$ eşitsizliğini sağlayan bir üçgenin kenarları, eğer $$a^2+b^2=c^2+1$$ eşitliğini sağlıyorsa bu üçgene hemen hemen dar açılı üçgen adı verilir.

Çevresi $\le 25000000$ olan kaç tane hemen hemen dar açılı üçgen vardır?

Euler Projesi 222. Soru

Küre Paketleme

Yarıçapları 30 mm, 31 mm, ..., 50 mm olan 21 topu tam olarak içine alabilecek iç yarıçapı 50 mm olan en kısa borunun uzunluğu nedir?

Cevabınızı en yakın tamsayıya yuvarlanmış halde mikrometre ($10^{-1}$ m) cinsinden veriniz?

Euler Projesi 220. Soru

Heighway Ejderhası

$D_0$, iki-harfli "Fa" harf dizisi olsun. $n\ge 1$ için, $D_n$ ifadesi $D_{n-1}$ ifadesinden aşağıdaki harf dönüşümleri kullanılarak yapılsın: $$"a"\rightarrow "aRbFR"$$ $$"b"\rightarrow "LFaLb".$$
Böylece $D_{0}="Fa"$, $D_{1}="FaRbFR"$, $D_{0}="FaRbFRRLFaLbFR"$, ... olur.
Bu diziler bir bilgisayar grafik programının yönergeleri olabilirler: Bir birim ileri çiz "F" ile, sola 90 derece dön "L" ile, sağa 90 derece dön "R" ile gösterilir ve "a" ve "b" boş geç demektir. Bilgisayar imlecinin başlangıç noktası (0,0) ve yönü (0,1) olsun.
Bu durumda $D_n$, n. sıradan Heighway Ejderhası olarak bilinen egzotik bir çizimdir. Örnek olarak $D_{10}$ aşağıda verildi; her "F" bir adım olarak sayılırsa 500 adım sonra varılan nokta işaretli olan (18,16) noktasıdır.

$D_{50}$ için $10^{12}$ adım sonrası imlecin konumu ne olur? Cevabınızı arada boşluk olmadan $x,y$ şeklinde veriniz.

Euler Projesi 216. Soru

2n²-1 Formundaki Sayıların Asallığı

n>1 olmak üzere t(n)=2n²-1 formundaki t(n) sayılarını ele alalım. Böylesi ilk sayılar 7, 17, 31, 49, 71, 97,  127 ve 161'dir. Burada sadece 49=7*7 ve 161=7*23 asal sayı değildir. n≤10000 için 2202 tane asal olan t(n) sayısı vardır.
n≤50000000 için kaç tane t(n) sayısı vardır?