Euler Projesi 261. Soru

Pivot Kare Toplamlar

m > 0 ve n ≥ k tam sayı çifti için k'ye kadar olan (m + 1) ardışık karenin toplamı, (n + 1)'den başlayan m ardışık karenin toplamına eşitse k pozitif tam sayısına bir kare-pivot diyelim: $$(k-m)^2 + ... + k^2 = (n+1)^2 + ... + (n+m)^2.$$
Bazı küçük kare-pivotlar:

• 4: 3^2 + 4^2 = 5^2
• 21: 20^2 + 21^2 = 29^2
• 24: 21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 = 25^2 + 26^2 + 27^2
• 110: 108^2 + 109^2 + 110^2 = 133^2 + 134^2

10¹⁰ sayısından küçük tüm farklı kare-pivotların toplamını bulunuz.

Euler Projesi 259. Soru

Erişilebilir Sayılar

Aşağıdaki kurallara uygun olarak bir aritmetik işlem sonucu elde edilebilen pozitif bir tam sayı erişilebilir olarak adlandırılır:

• 1'den 9'a kadar olan rakamları bu sırayla ve her birini sadece birer kez kullanır.
• Ardışık herhangi sayıdaki rakamlar birleştirilebilir (örneğin 2, 3 ve 4 rakamlarını kullanarak 234 sayısını elde edebiliriz).
• Yalnızca dört ikili aritmetik işleme (toplama, çıkarma, çarpma ve bölme) izin verilir.
• Her işlem herhangi sayıda kullanılabilir veya hiç kullanılmaz.
• Tekil eksi kullanılamaz.
• İşlemlerin sırasını tanımlamak için herhangi sayıda (muhtemelen yuvalanmış) parantez kullanılabilir.

Örneğin 42 sayısı ulaşılabilirdir, çünkü $$(1/23) * ((4 * 5) - 6) * (78-9) = 42.$$
Tüm pozitif erişilebilir tam sayıların toplamı nedir?

Euler Projesi 249. Soru

Asal Altküme Toplamları

5000'den küçük asal sayıların kümesi S={2,3,5,...,4999} olsun.

Elemanları toplamı bir asal sayı olan S'nin altkümeleri sayısı kaçtır?
Cevap olarak sadece en sağ 16 rakamı giriniz.

[Project Euler]

Euler Projesi 245. Soru

Eşdirenç

Sadeleştirilemeyen bir kesre 'dirençli' kesir adı verilir. Bir d doğal sayısı için, paydası d olan tüm dirençli basit kesirlerin sayısının tamamına oranı R(d) olsun; örneğin R(12)=4/11.

Bu durumda d>1 sayısının direnci $φ(d)/(d-1)$ ile tanımlanır. Burada φ, Euler totient fonksiyonudur.

Ayrıca bir n>1 sayısının eşdirencini $C(n)=[n-φ(n)]/(n-1)$ olarak tanımlanır. Bir p asal sayısının eşdirenci $C(p)=1/(p-1)$ olur.

$1<n \le 2\times 10^{11}$ için C(n) bir birim kesir olacak şekilde tüm bileşik n tam sayılarının toplamını bulunuz.

Euler Projesi 205. Soru

Zar Oyunu

Pelin'in elinde her yüzü 1,2,3,4 sayılarıyla numaralandırılmış 9 adet 4-yüzlü (piramidal) zar var. Cansu'nun elinde ise her yüzü 1,2,3,4,5,6 sayılarıyla numaralandırılmış 6 adet 6-yüzlü (kübik) zar var.

Pelin ve Cansu zarları atıyorlar ve toplamları karşılaştırıyorlar: yüksek olan kazanıyor. Eğer toplamlar eşitse beraberlik oluyor.

Piramidal Pelin'in Kübik Cansu'yu yenme olasılığı kaçtır? Cevabı 7 ondalık basamağa yuvarlayarak veriniz.

Euler Projesi 204. Soru

5 ten büyük asal çarpanı olmayan bir pozitif sayıya bir Hamming sayısı denir. Hamming sayıları 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, ... şeklinde verilebilir. 10⁸ den küçük 1105 tane Hamming sayısı vardır.

n den büyük asal çarpanı olmayan bir pozitif sayıya bir n-tipinde genelleştirilmiş Hamming sayısı denir. Dolayısıyla Hamming sayıları aslında 5-tipinde genelleştirilmiş Hamming sayılarıdır.

Şimdi, 10⁹ dan küçük 100-tipinde kaç tane genelleştirilmiş Hamming sayısı vardır?

Euler Projesi 203. Soru

Binom katsayıları ⁿC_k üçgensel formda (Pascal üçgeni) aşağıdaki şekilde düzenlenebilir:

							1
						1		1
					1		2		1
				1		3		3		1
			1		4		6		4		1
		1		5		10		10		5		1
	1		6		15		20		15		6		1
1		7		21		35		35		21		7		1

.........

İlk 8 sırada görüldüğü üzere 12 farklı sayı bulunmaktadır: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 20, 21 ve 35.

Bir n pozitif tamsayısı herhangi bir asal sayının karesi ile tam bölünmüyorsa bu n sayısına kare-serbest sayı denir. Pascal üçgeninin ilk 8 sırasında yer alan farklı 12 sayıdan, 4 ve 20 hariç, 10 tanesi kare-serbest sayılardır ve bu kare-serbest sayıların toplamı 105 dir.

Pascal üçgeninin ilk 51 sırasında yer alan farklı kare-serbest sayıların toplamı kaçtır?

Euler Projesi 202. Soru

Üç ayna yansıtıcı yüzeyleri iç bölgeyi gösterecek şekilde bir eşkenar üçgen formunda yerleştirilmiştir (Şekil). Her köşede ise sadece bir lazer ışınının geçebileceği kadar büyüklükte boşluk bırakılmıştır.

Köşeleri A,B ve C olarak etiketlenen üçgende, bir lazer ışınının C köşesinden girip 11 kere yüzeyden yansıyıp tekrar aynı köşeden çıkabilmesinin 2 yolu vardır: bir yolu şekilde gösterilmiş, diğeri ise bunun tersi yöndedir.

Aynı şekilde C köşesinden giren bir lazer ışınının 1000001 kere yüzeylerden yansıyıp aynı köşeden çıkabilmesinin ise 80840 yolu vardır.

C köşesinden giren bir lazer ışınının 12017639147 kere yüzeylerden yansıyıp aynı köşeden çıkabilmesinin kaç yolu vardır?

Euler Projesi 201. Soru

Herhangi bir A sayı kümesi için, A kümesinin elemanları toplamı sum(A) ile gösterilsin. Örneğin, B = {1,3,6,8,10,11} kümesi için sum(A) = 39 dur. B kümesinin üç elemanlı 20 alt kümesi vardır ve bunların toplamları şu şekildedir:
sum({1,3,6}) = 10,
sum({1,3,8}) = 12,
sum({1,3,10}) = 14,
sum({1,3,11}) = 15,
sum({1,6,8}) = 15,
sum({1,6,10}) = 17,
sum({1,6,11}) = 18,
sum({1,8,10}) = 19,
sum({1,8,11}) = 20,
sum({1,10,11}) = 22,
sum({3,6,8}) = 17,
sum({3,6,10}) = 19,
sum({3,6,11}) = 20,
sum({3,8,10}) = 21,
sum({3,8,11}) = 22,
sum({3,10,11}) = 24,
sum({6,8,10}) = 24,
sum({6,8,11}) = 25,
sum({6,10,11}) = 27,
sum({8,10,11}) = 29.
Görüldüğü üzere bazı toplamlar bir defa, bazıları çok defa gerçekleşmiştir.
Herhangi bir A kümesi için, k-elemanlı alt kümelerin bir defa gerçekleşen toplamları kümesi U(A,k) ile gösterilsin. Örneğe göre U(B,3) = {10,12,14,18,21,25,27,29} ve sum(U(B,3)) = 156 olur.
Şimdi, 100 elemanlı S = {1², 2², ... , 100²} kümesi ele alınsın. S kümesinin 50-elemanlı alt kümeleri sayısı 100891344545564193334812497256 dır.Buna göre sum(U(S,50)) kaçtır?

Euler Projesi 200. Soru

p ve q farklı asal sayılar olmak üzere, p²q³ formundaki bir sayı "sqube" olarak adlandırılsın.
Örneğin, 200=5²2³ ya da 120072949=23²61³.
İlk beş sqube sayıları şunlardır: 72, 108, 200, 392 ve 500.
Ayrıca ilginçtir ki, 200 sayısı herhangi bir basamağı değiştirilerek asal sayıya dönüştürülemeyen ilk sayıdır;  böyle sayılara "asal-korumalı" adı verilir. Bir sonraki "200" sayısını içinde barındıran asal-korumalı sqube sayısı 1992008 dir.
"200" sayısını içinde barındıran 200. asal-korumalı sqube sayısını bulunuz.