Euler Projesi 271. Soru

Modüler Küpler, kısım 1

Bir pozitif n sayısı için $1<x<n$ ve $x^3\equiv 1$ mod n olmak üzere x tam sayılarının toplamı S(n) ile tanımlansın.

n=91 iken x için 8 olası değer mevcut:  9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81.
Yani, S(91)=9+16+22+29+53+74+79+81=363.

S(13082761331670030) kaçtır?

Euler Projesi 269. Soru

En az bir tam sayı köke sahip polinomlar

P(x)=0 denkleminin bir çözümüne P(x) polinomunun bir kökü ya da sıfırı denir.
Bir n sayısının basamaklarını katsayı kabul eden polinomu P_n ile gösterelim.
Örneğin P₅₇₀₃(x)=5x³+7x²+3.

Şunları gösterebiliriz:

• P_n(0), n sayısının son basamağıdır.
• P_n(1), n sayısının basamakları toplamıdır.
• P_n(10), n sayısıdır.

k sayısından küçük, P_n polinomunun en az bir kökünün olduğu n pozitif tam sayılarının adedini Z(k) ile tanımlayalım.

Z(100.000)=14696 olduğu doğrulanabilir.

Z(10¹⁶) kaçtır?

Maple Matematik Yazılımı

Üniversiteler, kolejler, araştırma enstitüleri ve şirketlerce geniş çapta kullanılan Maple, matematiksel kavramları görselleme ve araştırmada, aplikasyonlar hazırlamada ve internet üzerinden matematik bilgilerini paylaşımda geniş çözümler sunar. Maple Application Center™ www.mapleapps.com alanındaki binlerce ücretsiz ek paketler ile birleştiğinde, Maple yazılımı profesörler, araştırmacılar, bilim adamları, mühendisler ve öğrenciler için en esnek analitik araç haline gelir.

Maple'ın gelişmiş arayüzü sayesinde öğrenme süresi diğer matematik hesaplama yazılımlarına göre çok daha kısalıyor. Akıllı doküman ortamı ile hesaplamalar, açıklayıcı bilgiler ve matematik, grafikler, imajlar ve sesler bir arada kullanılabiliyor.

Euler Projesi 242. Soru

Tek Üçlüler

{1,2, ..., n} kümesi verildiğinde f(n, k) değerini, kümenin toplamları tek olan k-elemanlı alt kümelerinin sayısı olarak tanımlarız. Örneğin f(5,3) = 4, çünkü {1,2,3,4,5} kümesinin, tek toplama sahip dört adet 3-elemanlı alt kümesi vardır: {1,2,4}, { 1,3,5}, {2,3,4} ve {2,4,5}.

n, k ve f(n, k) değerlerinin üçü de tek olduğunda, bir [n, k, f(n, k)] tek üçlüsünü oluşturduklarını söyleriz.

n ≤ 10 için tam olarak beş adet tek üçlü vardır: [1,1, f(1,1) = 1], [5,1, f(5,1) = 3], [5,5, f(5,5) = 1], [9,1, f(9,1) = 5] ve [9,9, f(9,9) = 1].

n ≤ 10¹² için kaç tek üçlü vardır?

Euler Projesi 241. Soru

Mükemmellik Bölümleri

Pozitif bir n tam sayı için σ(n), n'nin tüm bölenlerinin toplamı olsun. Örneğin σ(6) = 1 + 2 + 3 + 6 = 12.

Muhtemelen bildiğiniz üzere mükemmel bir sayı için σ(n) = 2n dir.

Pozitif bir tam sayının mükemmellik bölümünü p(n) = σ(n)/n olarak tanımlayalım.

k bir tam sayı olmak üzere p(n)'nin k + 1⁄2 formuna sahip olduğu tüm pozitif n ≤ 10¹⁸ tam sayılarının toplamını bulunuz.

Euler Projesi 240. Soru

En Yüksek Zar

Beş adet 6-yüzlü zar (1'den 6'ya kadar numaralı) atıldığında  üste gelen en yüksek 3 sayının toplamının 15 olmasının 1111 farklı yolu vardır. Bazıları aşağıdaki gibidir:

D1, D2, D3, D4, D5 = 4,3,6,3,5
D1, D2, D3, D4, D5 = 4,3,3,5,6
D1, D2, D3, D4, D5 = 3,3,3,6,6
D1, D2, D3, D4, D5 = 6,6,3,3,3

Yirmi adet 12-yüzlü zar (1'den 12'ye kadar numaralı) atıldığında en yüksek 10 sayının toplamının 70 olmasının kaç farklı yolu vardır?

Euler Projesi 239. Soru

Yirmi İki Aptalca Asal Sayı

1'den 100'e kadar numaralandırılmış bir dizi disk bir sıra halinde rastgele sıralanıyor.

Tam olarak 22 asal sayılı diskin doğal konumlarından başka yerde bulunacak şekilde kısmi bir bozulmayla sıralanması olasılığı nedir? (Asal sayılı olmayan disklerin herhangi bir kısmı kendi doğal konumlarında veya konumlarının dışında bulunabilir.)

Cevabınızı 0, abcdefghijkl şeklinde 12 ondalık basamağa kadar yuvarlayarak verin.

Euler Projesi 237. Soru

4 x n Oyun Tahtasında Turlar

T(n), 4 × n oyun tahtası üzerindeki tur sayısı olsun öyle ki:

• Tur sol üst köşede başlar.
• Tur, yukarı, aşağı, sola veya sağa bir kare olan hareketlerden oluşur.
• Tur her kareye tam olarak bir kez gider.
• Tur, sol alt köşede sona eriyor.

Şekil, 4 × 10 kart üzerinde bir turu göstermektedir:

T(10) değeri 2329 ise T(10¹²) mod 10⁸ kaçtır?

Euler Projesi 231. Soru

Binom Katsayıların Asal Çarpanlara Ayrılması

Binom katsayısı ¹⁰C₃ = 120.
120 = 2³ × 3 × 5 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5 ve 2 + 2 + 2 + 3 + 5 = 14.
Böylece ¹⁰C₃ binom katsayısının asal çarpanlara ayırmasındaki terimler toplamı 14.

  ^20000000C_15000000 binom katsayısının asal çarpanlara ayırmasındaki terimler toplamı kaçtır?

Euler Projesi 224. Soru

Hemen Hemen Dik Üçgenler II

Kenar uzunlukları tam sayılar olan bir üçgen için $a \le b \le c$ olsun. Eğer $a^2+b^2=c^2-1$ eşitliği sağlanıyorsa bu üçgene hemen hemen geniş açılı denir.

Çevre $\le 75000000$ şartını sağlayan kaç adet hemen hemen geniş açılı üçgen vardır?

Euler Projesi 223. Soru

Hemen Hemen Dik Üçgenler I

Kenar uzunlukları tamsayı olan ve $a\le b\le c$ eşitsizliğini sağlayan bir üçgenin kenarları, eğer $$a^2+b^2=c^2+1$$ eşitliğini sağlıyorsa bu üçgene hemen hemen dar açılı üçgen adı verilir.

Çevresi $\le 25000000$ olan kaç tane hemen hemen dar açılı üçgen vardır?

Euler Projesi 219. Soru

A ve B bit dizileri olsun (0 ve 1 sayı dizileri). Eğer A, B'nin sol uzunluk(A) bitine eşitse, A'ya B'nin bir öneki denir. Örneğin, 00110 dizisi 001101001 dizisinin bir öneki fakat 00111 veya 100110 dizilerinin öneki değildir.

Herhangi bit dizisinin diğerinin öneki olmadığı n farklı bit dizisi kümesine n boyutlu önek-bağımsız kod adı verilir. Örneğin, $$0000, 0001, 001, 01, 10, 11$$ dizisi 6 boyutlu önek-bağımsız bir koddur.

Şimdi '0' bitini iletmenin maliyeti 1 sent ve '1' bitini iletmenin maliyeti 4 sent olsun. Bu durumda yukarıda verilen önek-bağımsız kodu iletmenin maliyeti 35 sent olur, ki bu aslında belitilen maliyet hesabına göre olası en ucuz maliyetli olanıdır. Yani Cost(6)=35 yazılır.

Bu durumda Cost($10^9$)=?

Euler Projesi 218. Soru

Perfect right-angled triangles

Kenar uzunlukları a=7, b=24 ve c=25 olan dik üçgeni düşünün. Alanı 84 olup 6 ve 28 mükemmel sayılarıyla bölünebilir.

Dahası bir ilkel dik üçgendir, yani ebob(a,b)=1 ve ebob(b,c)=1. Ayrıca c bir tam karedir. Bir dik üçgene ilkel olması ve hipotenüsünün tam kare olması durumunda mükemmel denir.

Bir dik üçgene mükemmel olması ve alanının 6 ile 28 mükemmel sayıları ile bölünebilmesi durumunda süper-mükemmel denir.

c≤10¹⁶ olmak üzere kaç tane süper olmayan mükemmel dik üçgen vardır?

Euler Projesi 216. Soru

2n²-1 Formundaki Sayıların Asallığı

n>1 olmak üzere t(n)=2n²-1 formundaki t(n) sayılarını ele alalım. Böylesi ilk sayılar 7, 17, 31, 49, 71, 97,  127 ve 161'dir. Burada sadece 49=7*7 ve 161=7*23 asal sayı değildir. n≤10000 için 2202 tane asal olan t(n) sayısı vardır.
n≤50000000 için kaç tane t(n) sayısı vardır?

Euler Projesi 205. Soru

Zar Oyunu

Pelin'in elinde her yüzü 1,2,3,4 sayılarıyla numaralandırılmış 9 adet 4-yüzlü (piramidal) zar var. Cansu'nun elinde ise her yüzü 1,2,3,4,5,6 sayılarıyla numaralandırılmış 6 adet 6-yüzlü (kübik) zar var.

Pelin ve Cansu zarları atıyorlar ve toplamları karşılaştırıyorlar: yüksek olan kazanıyor. Eğer toplamlar eşitse beraberlik oluyor.

Piramidal Pelin'in Kübik Cansu'yu yenme olasılığı kaçtır? Cevabı 7 ondalık basamağa yuvarlayarak veriniz.

Euler Projesi 204. Soru

5 ten büyük asal çarpanı olmayan bir pozitif sayıya bir Hamming sayısı denir. Hamming sayıları 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, ... şeklinde verilebilir. 10⁸ den küçük 1105 tane Hamming sayısı vardır.

n den büyük asal çarpanı olmayan bir pozitif sayıya bir n-tipinde genelleştirilmiş Hamming sayısı denir. Dolayısıyla Hamming sayıları aslında 5-tipinde genelleştirilmiş Hamming sayılarıdır.

Şimdi, 10⁹ dan küçük 100-tipinde kaç tane genelleştirilmiş Hamming sayısı vardır?

Euler Projesi 203. Soru

Binom katsayıları ⁿC_k üçgensel formda (Pascal üçgeni) aşağıdaki şekilde düzenlenebilir:

							1
						1		1
					1		2		1
				1		3		3		1
			1		4		6		4		1
		1		5		10		10		5		1
	1		6		15		20		15		6		1
1		7		21		35		35		21		7		1

.........

İlk 8 sırada görüldüğü üzere 12 farklı sayı bulunmaktadır: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 15, 20, 21 ve 35.

Bir n pozitif tamsayısı herhangi bir asal sayının karesi ile tam bölünmüyorsa bu n sayısına kare-serbest sayı denir. Pascal üçgeninin ilk 8 sırasında yer alan farklı 12 sayıdan, 4 ve 20 hariç, 10 tanesi kare-serbest sayılardır ve bu kare-serbest sayıların toplamı 105 dir.

Pascal üçgeninin ilk 51 sırasında yer alan farklı kare-serbest sayıların toplamı kaçtır?

Euler Projesi 200. Soru

p ve q farklı asal sayılar olmak üzere, p²q³ formundaki bir sayı "sqube" olarak adlandırılsın.
Örneğin, 200=5²2³ ya da 120072949=23²61³.
İlk beş sqube sayıları şunlardır: 72, 108, 200, 392 ve 500.
Ayrıca ilginçtir ki, 200 sayısı herhangi bir basamağı değiştirilerek asal sayıya dönüştürülemeyen ilk sayıdır;  böyle sayılara "asal-korumalı" adı verilir. Bir sonraki "200" sayısını içinde barındıran asal-korumalı sqube sayısı 1992008 dir.
"200" sayısını içinde barındıran 200. asal-korumalı sqube sayısını bulunuz.