Matematiksel Modelleme

Bu titreşimlerin en basit matematiksel modeli, bir yay üzerinde titreşen bir kütleden gelir. Newton yasası, kuvvetin kütle çarpı ivme olduğunu söyler. İlk harekete geçirici kuvvet uygulandıktan sonra sadece yay, titreşimi etkiler. Hareket denklemi şöyle olur:

$$ku=m\frac{d^2u}{dt^2}$$

Burada u, kütlenin denge konumuna göre yer değiştirmesidir ve k ise yayın sertliğidir.

Hastalığı Yenme

Mikroskobik genlerin ve proteinlerin modellenmesinden salgın hastalığının bir ülkede ilerlemesinin izlenmesine kadar matematik, hastalıklarla mücadelede önemli bir rol oynar. Örneğin, bulaşıcı hastalıkların dinamiklerini analiz etmek için kullanılan temel model, diferansiyel denklemler sistemidir. İstatistik ve örüntü tanıma içeren “veri madenciliği” adı verilen yeni bir alan, popülasyonlardaki hastalık çalışmalarından toplanan çok miktarda veri hakkında önemli bilgilerin bulunmasına yardımcı olur. Matematik ayrıca insan genomundaki değişikliklerin spesifik hastalıklara bağlanmasında önemli bir rol oynar.

Matematik, son zamanlarda Birleşik Krallık'taki ayak ve ağız hastalığına ve Latin Amerika'daki milyonlarca insanı etkileyen bir hastalık olan Chagas hastalığına karşı mücadeleye yardımcı oldu. Ayak ve ağız salgınını inceleyen epidemiyologlar, erken çabaların hastalığın felaket olacak yayılımını durdurmak için yetersiz olduğu sonucuna varmak için matematiksel modeller kullandılar. Hükümet, sonuçları kabul etti ve sert olmasına rağmen, salgını gerçekten durduran bir eylem planı izledi. Latin Amerika'da matematikçiler, Chagas hastalığına karşı birkaç eylem yolunu hesapladılar ve enfeksiyon oranını büyük ölçüde azaltmak için şaşırtıcı derecede basit ama oldukça etkili bir adım buldular (köpekleri yatak odasının dışında tutmak). Bu örnekler üç önemli özelliği paylaşır: Hastalığın matematiksel bir modeli, modelin gerektirdiği hesaplamaları yapmak için modern bilgisayarlar ve ikincisinin gücünden yararlanmak için ilkini tasarlama anlayışı olan araştırmacılar.

Doğanın Sırlarını Açığa Çıkarma

Matematiksel ekoloji, karmaşık biyosistemleri anlamak ve modellemek için matematiğin hemen hemen her bölümünü (lineer cebir, analiz, diferansiyel denklemler, stokastik süreçler, sayısal simülasyonlar, istatistik) kullanan, matematik ve ekoloji arasında büyüyen ve aktif bir disiplinlerarası araştırma alanıdır. Bu modelleme, bir türün sürdürülmesi için gerekli alan veya istilacı bir türün bir alana ne kadar hızlı yayılacağı gibi önemli parametreler ve eşikler oluşturulmasına yardımcı olur.

Tek bir türün diğer türlerle ve çevresiyle nasıl etkileşime girdiğini yakalamak için modeller oldukça karmaşık olmalıdır. Günümüzün matematiksel ekoloji araştırmacıları, birbirine bağlı birkaç organizma ağını farklı zaman, büyüklük ve alan ölçeklerinde simüle etmek için çok daha göz korkutucu bir görevle karşı karşıya kalmaktadırlar. Bunu yapmak için araştırmacılar göreceli olarak yeni matematik alanlarına, örneğin doğrusal olmayan dinamik sistemlere ve konumsal istatistiğe başvururlar.

Akıllıca Fiyat Verme

Çoğu insanın bildiği basit açık artırma biçimi, açık artırmanın yapılabileceği birçok biçimden yalnızca biridir. Örneğin "ikinci fiyat açık artırması"nda en yüksek teklifi verene obje verilir, ancak yalnızca ikinci en yüksek teklifin tutarı alınır. (Bu, satıcı için göründüğü kadar kötü değildir; bu biçimde yapılan teklif daha agresif olabilir.) Bu ve diğer açık artırma formatları matematiksel modelleme, oyun teorisi, kombinatorik, tamsayılı programlama ve optimizasyon kullanılarak incelenir.

Araştırmacılar tarafından ulaşılan temel sonuçlardan biri de deneyimsiz teklif verenlerin neredeyse her zaman saf dışı kalmalarıdır. İnternet, açık artırmada satılan ürün sayısında artışa neden olan bir faktördür. Bir ürüne ihtiyaç duyan bir şirketin, tedarikçilere fiyat teklifinde bulunmaları için olanak tanıdığı, en düşük teklif verenin kazandığı ters açık artırmalar da popülerlik kazanmaktadır. Yeni tasarlanan bazı açık artırmalarda ise ürün grupları için teklif verilebilmekte veya birden fazla teklif turu içermektedir. Arttırılmış açık artırma sıklığı, bir uçuşun ayrıldığı kapının ve koltuğunuzu teslim etmek için aldığınız kupon miktarının açık artırmayla belirlenebileceği havayolu endüstrisinde örneklenmiştir.

İnternet Üzerinden Trafik Yönlendirme

Bilgi paketlerinin internet üzerinden nasıl taşındığını anlamak zor bir problem. İnternet trafiği, geleneksel telefon hattı trafiğinden oldukça farklı davranır. Fraktal tabanlı modelleme sayesinde yazı yazan bir kişinin tuş basma zaman aralıklarından aktarılan dosya boyutlarına kadar internet veri trafiğinin farklı yönleri açıklanabilmektedir.

Telefon görüşmelerinin özellikleri genel olarak tahmin edilebilir olmakla birlikte internet, oturum süresi gibi genellikle öngörülemeyen ve ses trafiği davranışlarına benzemeyen özelliklere sahiptir. Örneğin bir telefon şebekesinde gözlenen zaman süresi arttıkça, trafik düzenleri pürüzsüzleşir. Bununla birlikte internet verilerinde pürüzsüzleşme hiçbir zaman gerçekleşmez - hem uzun hem de kısa zamanlı ölçeklerde trafik düzenlerinde patlamalar görülür. Yeni matematik yardımıyla yeni interneti tanımlama, internet konusundaki deneyimimizi daha öngörülebilir hale getirebilir.

Kalp Deneyleri

Gerçek insan kalbiyle deney yapmak mümkün değildir, fakat insan kalbinin doğru matematiksel modelleriyle deney yapma, onun karmaşık süreçlerini anlamada yeni bir çığır açmıştır. Matematik ve bilgisayar, laboratuvarlarda yıllarca yapılan deneylerinin yerini alabilir. Örneğin matematik sayesinde kazanılan anlayış, yapay kapakçıkların tasarımını ve uygulamasını büyük ölçüde hızlandırır.

Hooke Kanunu'na dayanan denklemler, kas liflerini farklı esnekliklere sahip kapalı eğriler olarak temsil ederek kalbin geometrisini modeller. Tüm sıvı akışlarını açıklayan Navier-Stokes denklemleri, kalbin içindeki ve etrafındaki kan akışını modeller. Bununla birlikte kalbin şeklinin sürekli değişmesi gerçeği, denklemlerin çözülmesini genelde zorlaştırır ve denklem için kesin bir çözüm bulunamayabilir. Bu durumlarda ise yaklaşık çözümler bilgisayar tarafından üretilmektedir.

Uçak Tasarımı

Havanın (ve suyun) akışı yüz yıldan fazla bir süredir incelenmiştir, ancak matematikçiler aerodinamiğin önemli bir parçası olan karmaşık türbülans fenomenini son zamanlarda anlamaya başlamıştır. Matematik ve modern bilgisayarlar sayesinde rüzgar tünelleri artık havacılık tasarımında nadiren kullanılmaktadır. Navier-Stokes denklemleri sıvı akışını tanımlar, ancak bu kısmi diferansiyel denklemlerin kesin bir çözümü yoktur.

Akışkan akışı ne kadar hızlı olursa denklemlerdeki doğrusal olmayan terim sayısı o kadar artar, bu da denklemler için sayısal çözümler üretmenin zorluğunu artırır. Dolayısıyla uçakları etkileyen türbülansın, günümüzün süper bilgisayarlarının hesaplama gücüne rağmen anlaşılması zordur. Teorideki ilerlemeler, mevcut teknolojinin problemi çözebilmeleri için gereklidir. Matematikçiler şu an türbülansı açıklamaya çalışan iki hipotezi, Richardson ve Kolmogorov yasalarını doğrulamaktadır.

Sinema Filmlerine Hayat Vermek

Birçok film animasyonu tekniği matematiğe dayanır. Karakterler, arka plan ve hareket, bilgisayar grafiklerinde kullanılan matematik yardımıyla saklanan ve işlenen pikselleri geometrik şekillere dönüştüren yazılımlar kullanılarak oluşturulur.

Yazılım, her piksele konum, hareket, renk ve doku gibi göz için önemli olan özellikleri kodlar. Yazılım, her bir pikselin gölgesini belirlemek için eğri yüzeylere vektör, matris ve poligon yaklaşımları kullanır. Bir bilgisayarda üretilen filmin her karesi iki milyondan fazla piksele sahiptir ve kırk milyondan fazla poligona sahip olabilir. İlgili hesaplamaların muazzam sayısı bilgisayarları gerekli kılmaktadır, ancak matematik olmadan bilgisayarlar neyin hesaplanacağını bilemezler. Bir animatör şöyle diyor: “... hepsi matematik tarafından kontrol ediliyor ... bütün bu okulda gördüğünüz küçük X, Y ve Z'ler - aman tanrım, birden hepsi kullanılıyor.”

Web sayfası..

Okyanusları Tanımlamak

Okyanuslarımızın uçsuz bucaksız bölgelerindeki akıntıları ve sıcaklıkları tanımlamayı deneyin. Okyanuslarımızın iyi modelleri sadece kıyılarımızdaki balıkçılar için değil, aynı zamanda iç bölgelerde yaşayan çiftçiler için de fayda sağlar. Yakın zamana kadar model oluşturmak için yeterli araç ya da veri yoktu. Şimdi yeni veriler ve yeni matematik ile kısa vadeli iklim tahmini - örneğin yaklaşan bir El Nino'nun - mümkündür.

Bununla birlikte uzun vadeli iklim tahmini konusunda yapılması gereken daha çok iş var ve biz okyanusları çok az anlıyoruz. Mevcut denklemler okyanus dinamiklerini tanımlar, ancak denklemlerin çözümleri şu anda bulunamaz. Bu denklemlerin iyi bir çözümünü tahmin etmek için gerekli veriler hiçbir bilgisayar tarafından karşılanamaz. Araştırmacılar bu nedenle denklemleri çözmek için basitleştirilmiş varsayımlar yaparlar. Bu varsayımlardan türetilen modellerin doğruluğunu test etmek için yeni veriler kullanılır. Bu araştırma çok önemlidir, çünkü okyanusları anlayana kadar iklimimizi anlayamayız.

Web sayfası..

Daha İyi Bir Bisiklet Tasarlama

Her ne kadar bisikletler oldukça basit olsa da bir asırdan fazla bir süre boyunca cevapsız kalmış bazı ilginç sorular içeriyorlar. Örneğin hangi kuvvetler bir bisikletin sabit kalmasını sağlıyor ve neden hareketli binicisiz bir bisiklet kendi kendine dengede kalabiliyor (hızını koruduğu sürece)? Matematikçiler, fizikçiler ve mühendisler, bu tür sorulara cevap vermek ve alıştığımızdan daha kolay dengelenebilen ve yönlendirilebilen yeni tasarımları denemek için diferansiyel denklemler, geometri ve doğrusal cebir içeren modelleri kullanıyorlar.

Mevcut bisiklet tasarımı, titiz analizden ziyade deneme ve yanılmayla gelişti.Araştırmacılar kısa bir süre önce sistemin ana bileşenlerin (tekerlekler, çerçeve ve direksiyon çatalı) tanımlayan denklemleri oluşturmak için matematik ve mekaniği kullandıklarında, stabilite elde etmek için ön tekerlekle yer arasındaki temas noktasının direksiyon ekseninin arkasında olması gerektiği şeklindeki uzun süredir devam eden varsayımla çelişen bir keşif yaptılar. Önce matematik sonra da deneyler, varsayıma uymayan bir bisikletin hala dengede durabileceğini doğruladı.