Euler Projesi 273. Soru

Kareler Toplamı

Şu şekilde tanımlı denklemleri düşünün: $a^2+b^2=N,\, a,b$ ve $N$ tam sayı.

N=65 için iki çözüm mevcut:

$a=1,b=8$ ve $a=4,b=7$.

Yukarıda tanımlanan denklem kümesinin tüm çözümlerinde $a$ değerlerinin toplamına S(N) diyelim.

Bu durumda $S(65)=1+4=5$.

$4k+1<150$ olmak üzere sadece $4k+1$ formundaki asallarla bölünebilen tüm kare-bağımsız $N$ sayıları için $\sum S(N)$ kaçtır?

Euler Projesi 229. Soru

Kareleri Kullanan Dört Gösterim

3600 sayısını alalım. Çok özeldir, çünkü

3600 = 48² +     36²

3600 = 20² + 2×40²

3600 = 30² + 3×30²

3600 = 45² + 7×15².

Benzer şekilde 88201 = 99² + 280² = 287² + 2×54² = 283² + 3×52² = 197² + 7×84² olduğunu görebiliriz.

1747'de Euler, hangi sayıların iki kare toplamı olarak yazılabileceğini ispatladı. Biz burada aşağıdaki dört gösterime de uyan n sayıları ile ilgileniyoruz:

n = a₁² +   b₁²

n = a₂² + 2 b₂²

n = a₃² + 3 b₃²

n = a₇² + 7 b₇²,

Burada $a_k$ ve $b_k$ pozitif tam sayılardır.

$10^7$'den küçük 75373 tane böyle sayı vardır.

$2 \times 10^9$'dan küçük böyle kaç tane sayı vardır?