Euler Projesi 283. Soru

Alan/çevre oranının integral olduğu tamsayı kenarlı üçgenler

Kenarları 6, 8 ve 10 olan üçgeni düşünün. Hem çevrenin hem de alanın 24'e eşit olduğu görülebilir. Yani alan/çevre oranı 1'e eşittir.

Ayrıca 13, 14 ve 15 kenarlı üçgeni de düşünün. Alan 84'e eşitken çevre 42'ye eşittir. Yani bu üçgen için alan/çevre oranı 2'ye eşittir.

Alan/çevre oranlarının 1000'i geçmeyen pozitif tam sayılara eşit olduğu tüm tamsayı kenarlı üçgenlerin çevrelerinin toplamını bulun.

Euler Projesi 281. Soru

Pizza Malzemeleri

Size m · n eşit parçaya kesilmiş bir pizza (mükemmel daire) veriliyor ve her dilimde tam olarak bir malzeme olmasını istiyorsunuz.

F(m, n) pizzayı, m farklı malzeme (m ≥ 2) ile, her bir malzemeyi tam olarak n dilimde (n ≥ 1) kullanarak yapabileceğiniz yolların sayısını göstersin. Yansımalar farklı kabul edilirken rotasyonlar farklı kabul edilmemektedir.

Böylece, örneğin, f (2,1) = 1, f (2,2) = f (3,1) = 2 ve f (3,2) = 16.

f (3,2) aşağıda gösterilmiştir:

F (m, n) ≤ 10¹⁵ olacak şekilde tüm f (m, n) toplamlarını bulunuz.

Euler Projesi 279. Soru

Kenar uzunlukları ve bir iç açısı tam sayı olan üçgenler

Kenar uzunlukları ve en az bir iç açısı (derece cinsinden) tam sayı olan ve çevre uzunluğu en fazla $10^8$ olan kaç üçgen bulunur?

Euler Projesi 271. Soru

Modüler Küpler, kısım 1

Bir pozitif n sayısı için $1<x<n$ ve $x^3\equiv 1$ mod n olmak üzere x tam sayılarının toplamı S(n) ile tanımlansın.

n=91 iken x için 8 olası değer mevcut:  9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81.
Yani, S(91)=9+16+22+29+53+74+79+81=363.

S(13082761331670030) kaçtır?

Euler Projesi 268. Soru

100'den küçük en az dört farklı asal çarpanı bulunan sayıları sayma

100'den küçük en az dört farklı asal çarpanı bulunan 1000'den küçük 23 pozitif tam sayı bulunduğu gösterilebilir.

100'den küçük en az dört farklı asal çarpanı bulunan 10¹⁶'dan küçük kaç pozitif tam sayı vardır?

Euler Projesi 267. Soru

Milyarder

Size eşsiz bir yatırım fırsatı veriliyor.

1 £ sermaye ile başlayarak bir hilesiz para atma olayında 1000 atış için her seferinde sermayenizin sabit bir f oranını seçip bahse girebilirsiniz.

Tura için bahsinizin iki katı kadar kazanırken yazı için bahisiniz kadarını kaybedersiniz.

Örneğin eğer f = 1/4 ise ilk atış için bahsiniz 0,25 £ olurken, eğer tura gelirse 0,5 £ kazanırsınız ve 1,5 £ paranız olur. Daha sonra bahsiniz 0,375 £ olurken eğer ikinci atış yazı ise 1,125 £ paranız kalır.

1000 atıştan sonra en az 1.000.000.000 £ kazanma şansınızı en üst düzeye çıkaracak şekilde f seçimi yaparsanız milyarder olma şansınız nedir?

Tüm hesaplamaların tam olduğu (yuvarlama olmadığı) kabul edilir, ancak cevabınızı 0,abcdefghijkl biçiminde 12 ondalık basamağa yuvarlayarak veriniz.

Euler Projesi 265. Soru

İkilik Çemberler

2N adet ikilik tabandaki sayı, her N-basamaklı saat yönündeki altdizi farklı olacak şekilde bir çembere yerleştirilebilir.

N=3 için döndürme haricinde böyle iki dairesel düzenleme mümkündür:

İlk düzenleme için saat yönündeki 3-basamaklı altdiziler: 000, 001, 010, 101, 011, 111, 110 ve 100.

Her dairesel düzenleme, en önemli bitler olarak tümü sıfırlardan oluşan altdizi ile başlayan ikilik basamakları peşpeşe yazıp saat yönünde ilerleyerek bir sayı olarak kodlanabilir. N=3 için iki düzenleme böylelikle 23 ve 29 olarak gösterilebilir:

00010111₂ = 23

00011101₂ = 29

Tek sayısal gösterimlerin toplamı S(N) ile ifade edilirse S(3)=23+29=52 olur.

S(5) kaçtır?

Euler Projesi 264. Soru

Üçgen Merkezleri

Aşağıda verilen özelliklere sahip tüm üçgenleri düşünün:

• Tüm köşeleri örgü noktaları üzerinde
• Çevrel çemberin merkezi O orijin noktasında
• Yüksekliklerin kesim noktası H(5,0)

Çevre uzunluğu ≤ 50 olan böyle 9 adet üçgen vardır.
Yarıçapları artan sırada olmak üzere bunlar:

A(-4, 3), B(5, 0), C(4, -3)
A(4, 3), B(5, 0), C(-4, -3)
A(-3, 4), B(5, 0), C(3, -4)

A(3, 4), B(5, 0), C(-3, -4)
A(0, 5), B(5, 0), C(0, -5)
A(1, 8), B(8, -1), C(-4, -7)

A(8, 1), B(1, -8), C(-4, 7)
A(2, 9), B(9, -2), C(-6, -7)
A(9, 2), B(2, -9), C(-6, 7)

Bunların çevre uzunlukları toplamı 4 ondalık basamağa kadar 291,0089'dur.

Çevre uzunluğu ≤ 10⁵ olan böyle üçgenleri bulun. Bunların çevre uzunlukları toplamını 4 ondalık basamağa kadar cevabınız olarak girin.

Euler Projesi 261. Soru

Pivot Kare Toplamlar

m > 0 ve n ≥ k tam sayı çifti için k'ye kadar olan (m + 1) ardışık karenin toplamı, (n + 1)'den başlayan m ardışık karenin toplamına eşitse k pozitif tam sayısına bir kare-pivot diyelim: $$(k-m)^2 + ... + k^2 = (n+1)^2 + ... + (n+m)^2.$$
Bazı küçük kare-pivotlar:

• 4: 3^2 + 4^2 = 5^2
• 21: 20^2 + 21^2 = 29^2
• 24: 21^2 + 22^2 + 23^2 + 24^2 = 25^2 + 26^2 + 27^2
• 110: 108^2 + 109^2 + 110^2 = 133^2 + 134^2

10¹⁰ sayısından küçük tüm farklı kare-pivotların toplamını bulunuz.

Euler Projesi 251. Soru

Cardano Üçlüleri

Aşağıdaki eşitliği sağlayan bir (a, b, c) üçlüsüne bir Cardano Üçlüsü denir: $$\sqrt[3]{a+b\sqrt{c}}+\sqrt[3]{a-b\sqrt{c}}=1.$$Örneğin (2,1,5) bir Cardano Üçlüsü'dür.

$a+b+c\le 1000$ olacak şekilde 149 adet Cardano Üçlüsü bulunuyor.

$a+b+c\le 110.000.000$ olacak şekilde kaç adet Cardano Üçlüsü bulunur?

Euler Projesi 244. Soru

Kayan Desenler

Muhtemelen On Beş Yapbozunu biliyorsunuzdur. Burada numaralı desenler yerine yedi kırmızı ve sekiz mavi desen var.

Bir hareket, desenin kaydırıldığı yönün (Sol-L, Sağ-R, Yukarı-U, Aşağı-D) baş harfiyle ifade ediliyor, örn. (S) konfigürasyondan başlayarak LULUR dizisi ile (E) konfigürasyona ulaşırız:

(S)

, (E)

Her yol için sağlama toplamı (pseudocode) aşağıdaki gibi hesaplanır:

checksum = 0
checksum = (checksum × 243 + m₁) mod 100 000 007
checksum = (checksum × 243 + m₂) mod 100 000 007
   …
checksum = (checksum × 243 + m_n) mod 100 000 007

Buradaki m_k, hareket dizisindeki k. harfin ASCII değeridir ve hareketler için ASCII değerleri şu şekildedir:

L	76
R	82
U	85
D	68

Yukarıda verilen LULUR dizisi için sağlama toplamı 19761398'dir.

Şimdi, (S) konfigürasyondan başlayarak (T) konfigürasyonuna ulaşmanın en kısa yollarını bulun.

(S)

, (T)

Minimum uzunluğa sahip yollar için tüm sağlama toplamlarının toplamı nedir?

(Project Euler)

Euler Projesi 243. Soru

Direnç

Payı paydasından küçük olan bir pozitif kesre basit kesir denir. Herhangi bir d paydası için d − 1 adet basit kesir olacaktır; örneğin d = 12 için 1/12, 2/12, 3/12, 4/12, 5/12, 6/12, 7/12, 8/12, 9/12, 10/12, 11/12.

Sadeleşmeyen basit bir kesre dirençli kesir adını verelim. Dahası, bir d paydasının R(d) direncini, dirençli kesirlerin basit kesirlere oranı olarak tanımlayalım; örneğin R(12) = 4/11. Aslında d = 12, R(d) < 4/10 direncine sahip en küçük paydadır.

R(d) < 15499/94744 direncine sahip olan en küçük d paydasını bulunuz.

Euler Projesi 240. Soru

En Yüksek Zar

Beş adet 6-yüzlü zar (1'den 6'ya kadar numaralı) atıldığında  üste gelen en yüksek 3 sayının toplamının 15 olmasının 1111 farklı yolu vardır. Bazıları aşağıdaki gibidir:

D1, D2, D3, D4, D5 = 4,3,6,3,5
D1, D2, D3, D4, D5 = 4,3,3,5,6
D1, D2, D3, D4, D5 = 3,3,3,6,6
D1, D2, D3, D4, D5 = 6,6,3,3,3

Yirmi adet 12-yüzlü zar (1'den 12'ye kadar numaralı) atıldığında en yüksek 10 sayının toplamının 70 olmasının kaç farklı yolu vardır?

Euler Projesi 239. Soru

Yirmi İki Aptalca Asal Sayı

1'den 100'e kadar numaralandırılmış bir dizi disk bir sıra halinde rastgele sıralanıyor.

Tam olarak 22 asal sayılı diskin doğal konumlarından başka yerde bulunacak şekilde kısmi bir bozulmayla sıralanması olasılığı nedir? (Asal sayılı olmayan disklerin herhangi bir kısmı kendi doğal konumlarında veya konumlarının dışında bulunabilir.)

Cevabınızı 0, abcdefghijkl şeklinde 12 ondalık basamağa kadar yuvarlayarak verin.

Euler Projesi 237. Soru

4 x n Oyun Tahtasında Turlar

T(n), 4 × n oyun tahtası üzerindeki tur sayısı olsun öyle ki:

• Tur sol üst köşede başlar.
• Tur, yukarı, aşağı, sola veya sağa bir kare olan hareketlerden oluşur.
• Tur her kareye tam olarak bir kez gider.
• Tur, sol alt köşede sona eriyor.

Şekil, 4 × 10 kart üzerinde bir turu göstermektedir:

T(10) değeri 2329 ise T(10¹²) mod 10⁸ kaçtır?

Euler Projesi 232. Soru

Yarış

İki oyuncu hileli bir parayı sırasıyla kullanarak "Yarış" oyununu oynuyorlar. Oyuncu 1 parayı bir kere atıyor: Tura gelirse, 1 puan alıyor; yazı gelirse puan almıyor. Oyuncu 2 bir T pozitif tam sayı seçip parayı bu sayıda atıyor: Hepsi tura gelirse 2^T-1 puan alıyor; aksi takdirde puan almıyor. İlk Oyuncu 1 başlıyor. 100 veya daha fazla puan alan kazanıyor.

Her sıra geldiğinde Oyuncu 2 bir T sayısı seçerek kazanma olasılığını maksimize etmek istiyor.

Oyuncu 2'nin kazanma olasılığı nedir?

Cevabınızı 8 ondalık basamağa kadar 0, abcdefgh biçiminde veriniz.

Euler Projesi 230. Soru

Fibonacci Kelimeleri

Herhangi iki A and B rakam dizisi için içindeki her terim önceki ikisinin birleşimi olan F_A,B dizisini (A,B,AB,BAB,ABBAB,...) biçiminde tanımlayalım.

Dahası D_A,B(n), F_A,B dizisinin en az n basamağı bulunan ilk teriminin n. basamağı olsun.

Örnek:
A=1415926535, B=8979323846 olsun. D_A,B(35) bulmak için:
F_A,B dizisinin ilk birkaç terimi:
1415926535
8979323846
14159265358979323846
897932384614159265358979323846
14159265358979323846897932384614159265358979323846
Bu durumda D_A,B(35), 5. terimdeki 35. basamaktır: 9.

Şimdi A için π sayısının ilk 100 ondalık basamağını alalım:
14159265358979323846264338327950288419716939937510
58209749445923078164062862089986280348253421170679
ve B için sonraki 100 basamağı:
82148086513282306647093844609550582231725359408128
48111745028410270193852110555964462294895493038196 .
∑_{n = 0,1,...,17}   10ⁿ× D_A,B((127+19n)×7ⁿ) kaçtır?

Euler Projesi 228. Soru

Minkowski Toplamları

$S_n$, $v_k (k=1,2,...,n)$ köşelerinin koordinatları

$x_k=cos(\frac{2k-1}{n} \times 180^o)$

$y_k=sin(\frac{2k-1}{n} \times 180^o)$

olan düzgün k-kenarlı bir çokgen -bir şekil- olsun.

Her  $S_n$ çokgeni, hem üzerindeki hem de iç bölgesindeki noktaları kapsayan birer şekil olarak tanımlanıyor.

İki S ve T şeklinin S+T Minkowski toplamı, S ile T'nin her noktasının koordinatsal olarak toplanmasıyla elde ediliyor: (u,v)+(x,y)=(u+x,v+y).

Örneğin $S_3$ ile $S_4$ şekillerinin toplamı aşağıda pembe renkle verilen altı-kenarlı şekildir:

$S_{1864}+S_{1865}+...+S_{1909}$ toplamı kaç kenarlıdır?

Euler Projesi 227. Soru

Takip

"Takip", iki zar ve çift sayıda oyuncuyla oynanan bir oyun.

Oyuncular bir masaya otururlar; karlı karşıya oturan iki oyuncuya birer zar verilerek oyuna başlanır. Her turda iki oyuncu ellerinde birer zarla.

Eğer bir oyuncu 1 atarsa, zarı soldaki oyuncuya verir; eğer 6 atarsa sağdaki oyuncuya verir; diğer durumlarda sonraki tur için zar kendinde kalır.

Herkes atıp geçişler yapıldıktan sonra elinde iki zar bulunan oyuncu varsa, oyunu kaybeder.

100 kişilik bir oyunda oyunun son bulması için beklenen tur sayısı nedir?

Cevabı 10 anlamlı basamağa kadar veriniz.

Euler Projesi 221. Soru

Aleksandria Tamsayıları

$$A=pqr \textrm{ ve} 1/A=1/p+1/q+1/r$$
eşitliklerini sağlayan $p,q,r$ tamsayılarının bulunması durumunda $A$ sayısına bir "Aleksandria tamsayısı" denir. Örneğin, 630 bir Aleksandria tamsayısıdır ($p=5, q=-7, r=-18$).
Aslında 630, 6. Aleksandria tamsayısı, ilk 6 Aleksandria tamsayısı ise 6, 42, 120, 156, 420 ve 630'dur.

O halde 150000. Aleksandria tamsayısı kaçtır?