İkinci Dereceden Denklemlerin 100 Kullanımı: Cep Telefonları

Karmaşık bir ikinci dereceden denklemin cep telefonlarıyla ilgisi nedir? Durup bir an için bir sayının karesini aldığımızda ne olacağını düşünelim: Yani x'i alıp $x^2$'yi hesaplayalım. Fark edeceğimiz şey, x için hangi değeri alırsak alalım $x^2$'nin her zaman negatif olmadığıdır. Sonuç olarak $x^2=-1$'in bir çözümü olamaz. Matematikçilerin bu problemle başa çıkma yolu hilelidir ve varlık açısından bir çözüm tanımlamaktır! $i$ harfi $$x^2=-1$$ dekleminin bir çözümünü temsil etmek için kullanılır, dolayısıyla $i^2=-1$. Yani, $i$ gerçek bir sayı olamaz ve bu nedenle buna sanal sayı denir. $$(-i)^2 = -1 \times i \times -1 \times i = i\times i = -1$$ eşitliğine de dikkat edin. Yani $x = -i$ aynı zamanda $x ^ 2 = -1$ denkleminin bir çözümüdür.

İlk Adım

Kaybolan Kökler adlı yazıda şu soruyu sorduk: "Ya negatif bir sayının karekökü olsaydı?" ve i'yi -1'in karekökü olarak tanıttık, dolayısıyla i² = -1.

Karmaşık bir sayının gerçek kısmı ve sanal kısmı vardır, örneğin: 4 + 2i, 7/5-3i veya -√3 + πi.

a + bi karmaşık sayısının gerçek kısmı a ve sanal kısmı b'dir.

Gerçel sayıları temsil etmek için sayı doğrusunu kullandığımız aynı şekilde, karmaşık sayıları temsil etmek için bir koordinat düzlemi kullanabiliriz. Bu düzlemin adı Argand diyagramıdır.


Karmaşık sayıların toplaması ve çıkarması, cebirde benzer terimlerinkiyle aynıdır. Örneğin:
(4 + 2i) + (7/5-3i) = 27/5-i
ve
(4 + 2i) - (7/5-3i) = 13/5 + 5i.

Kaybolan Kökler

İkinci dereceden denklemleri ilk öğrendiğinizde, gerçek kökleri olmayan denklemler hakkında konuşmuşsunuzdur. Gerçek kök yok ...

y = x²-6x + c grafiğini gösteren videoyu izleyiniz:

c > 9 olduğunda kırmızı noktalar kaybolur.
Peki ya o iki kırmızı nokta hala bir yerlerdeyse?
Nerede olabilirler acaba?
Bu soruya mantıklı gelen matematiksel bir cevap var mı?

y = x²-6x + c hakkında biraz daha düşünelim.
Kareye tamamlarsak bunu y = (x-3)²-9 + c olarak yazabiliriz.
Kökler, (x-3)²-9 + c = 0 denklemini çözerek bulunur:
Yeniden düzenleyerek (x-3)² = 9-c denklemini ele alalım.

Eğer c ≤ 9 ise bu iyi, fakat eğer c > 9 ise negatif bir sayının karekökünü bulmak zorunda kalacağız ve bunu yapamayız! Ya da yapabilir miyiz ...

İşleme Devam

Karmaşık bir sayıyı bir gerçel sayı veya sanal sayı ile çarpabiliriz. Sadece i² = -1 olduğunu hatırlamamız gerek. Örneğin 3i × 4i = 12i² = -12 (Bir GeoGebra uygulaması için Tıklayınız).

Bir karmaşık sayı z₁, örneğin 4 + 2i ve pozitif bir gerçel sayı z₂, örneğin 3 olsun. z₁z₂ nedir?

z₁ ve z₂'yi değiştirirsek ne olur? Pozitif bir gerçel sayı ile çarpmanın etkisini geometrik olarak açıklayabilir misiniz? Ya z₂ negatifse?

Şimdi farklı karmaşık sayıları i ile çarparsak etkisini geometrik olarak açıklayabilir misiniz?

Şimdi aynısını -i ile deneyin.

2i, 3i, -2i, -4i, 12i ... ile çarpımda ne olur? Bu durumu geometrik olarak tanımlayabilir misiniz?

Karmaşık Sayı Maceraları

x² + 6x + 10 = 0 gibi denklemleri çözemeyeceğimizi öğretmiş olabilirler. Kendiniz deneyiniz!

Her şeyden memnun bazı denklemlerle uğraştığını düşününüz.
x² - 6x + 5 = 0 denklemini ele alınız.
Küçük bir çalışma ile (belki de ikinci dereceden formülü kullanarak) x = 5 veya x = 1 ise bu denklemin doğru olduğunu hesaplarsınız.
x² - 6x + 9 = 0 denklemine ne dersiniz?
Bu eşitlik için tek olasılık x = 3'tür.
Peki ya x² - 6x + 10 = 0 denklemi için?

Hop! Bir dakika bekleyiniz... işler biraz tuhaflaşıyor. Burada ilgili formülü denerseniz negatif bir sayının karekökünü alırsınız ve hepimiz bunun imkansız olduğunu biliyoruz... Ya da öyle değil mi? Ya yapabileceğimizi düşünürsek? Bu hangi matematik dünyalarını açar?

Biraz hayal gücü ve matematiksel cesaretle kuralları çiğneyebilir ve kendinizi yepyeni bir matematik alanına yerleştirebilirsiniz: Karmaşık sayılar. (Nrich.maths.org)