Euler Projesi 269. Soru

En az bir tam sayı köke sahip polinomlar

P(x)=0 denkleminin bir çözümüne P(x) polinomunun bir kökü ya da sıfırı denir.
Bir n sayısının basamaklarını katsayı kabul eden polinomu P_n ile gösterelim.
Örneğin P₅₇₀₃(x)=5x³+7x²+3.

Şunları gösterebiliriz:

• P_n(0), n sayısının son basamağıdır.
• P_n(1), n sayısının basamakları toplamıdır.
• P_n(10), n sayısıdır.

k sayısından küçük, P_n polinomunun en az bir kökünün olduğu n pozitif tam sayılarının adedini Z(k) ile tanımlayalım.

Z(100.000)=14696 olduğu doğrulanabilir.

Z(10¹⁶) kaçtır?

İkinci Dereceden Denklemlerin 100 Kullanımı: Yunanlar

Şimdi 1000 yıl geriye antik Yunana doğru gidiyoruz ve ikinci dereceden denklemlerden nasıl faydalandıklarını görüyoruz. Yunanlar süper matematikçilerdi ve bugün hala kullandığımız matematiği büyük oranda keşfetmişlerdi. Çözmeye çalıştıkları denklemlerden biri basit bir ikinci dereceden denklemdi: $x^2=1.$

Bu denklemin bir çözümü olduğunu biliyorlardı. Aslında bu, bir birim kenarlara sahip bir dik üçgenin hipotenüs uzunluğuydu.

Pisagor denkleminde kısa kenar uzunlukları 1 alınırsa hipotenüs uzunluğu c=x=$\sqrt{2}$ olarak bulunur.

Bu durumda x nedir, ya da Yunanların sordukları şekliyle, x ne tür bir sayıdır? Bunun sebebi Yunanların oran anlayışından kaynaklanmaktadır. Onların inanışına göre her sayı birbiriyle orantılıdır. Daha kesin bir ifadeyle a ve b tam sayı olmak üzere her sayı a/b şeklinde bir kesirdir. Dolayısıyla $\sqrt{2}$ de bir kesir olmalıdır. Ama olmadığını anlamak büyük bir şaşkınlıktı. Gerçekte $\sqrt{2}$ sayısının ondalık açılımında virgülden sonraki basamaklar sonsuza kadar düzensiz olarak sürmekteydi.

Euler Projesi 251. Soru

Cardano Üçlüleri

Aşağıdaki eşitliği sağlayan bir (a, b, c) üçlüsüne bir Cardano Üçlüsü denir: $$\sqrt[3]{a+b\sqrt{c}}+\sqrt[3]{a-b\sqrt{c}}=1.$$Örneğin (2,1,5) bir Cardano Üçlüsü'dür.

$a+b+c\le 1000$ olacak şekilde 149 adet Cardano Üçlüsü bulunuyor.

$a+b+c\le 110.000.000$ olacak şekilde kaç adet Cardano Üçlüsü bulunur?

Kaybolan Kökler

İkinci dereceden denklemleri ilk öğrendiğinizde, gerçek kökleri olmayan denklemler hakkında konuşmuşsunuzdur. Gerçek kök yok ...

y = x²-6x + c grafiğini gösteren videoyu izleyiniz:

c > 9 olduğunda kırmızı noktalar kaybolur.
Peki ya o iki kırmızı nokta hala bir yerlerdeyse?
Nerede olabilirler acaba?
Bu soruya mantıklı gelen matematiksel bir cevap var mı?

y = x²-6x + c hakkında biraz daha düşünelim.
Kareye tamamlarsak bunu y = (x-3)²-9 + c olarak yazabiliriz.
Kökler, (x-3)²-9 + c = 0 denklemini çözerek bulunur:
Yeniden düzenleyerek (x-3)² = 9-c denklemini ele alalım.

Eğer c ≤ 9 ise bu iyi, fakat eğer c > 9 ise negatif bir sayının karekökünü bulmak zorunda kalacağız ve bunu yapamayız! Ya da yapabilir miyiz ...