Modüler Küpler, kısım 1
Bir pozitif n sayısı için $1<x<n$ ve $x^3\equiv 1$ mod n olmak üzere x tam sayılarının toplamı S(n) ile tanımlansın.
n=91 iken x için 8 olası değer mevcut: 9, 16, 22, 29, 53, 74, 79, 81.
Yani, S(91)=9+16+22+29+53+74+79+81=363.
S(13082761331670030) kaçtır?
ruby etiketine sahip kayıtlar gösteriliyor. Tüm kayıtları göster
ruby etiketine sahip kayıtlar gösteriliyor. Tüm kayıtları göster
21 Ağustos 2019
5 Ağustos 2019
Euler Projesi 270. Soru
Kare kesme
Tam sayı N × N boyutlu kare bir kağıt parçası, bir köşesi başlangıç noktasında ve iki kenarı da x ve y eksenleri üzerinde olacak şekilde yerleştiriliyor. Ardından aşağıdaki kurallara uyarak bu kareyi kesiyoruz:
Tam sayı N × N boyutlu kare bir kağıt parçası, bir köşesi başlangıç noktasında ve iki kenarı da x ve y eksenleri üzerinde olacak şekilde yerleştiriliyor. Ardından aşağıdaki kurallara uyarak bu kareyi kesiyoruz:
- Sadece karenin farklı kenarlarında bulunan ve tam sayı koordinatlarına sahip iki nokta arasında uzanan düz kesimler yapıyoruz.
- İki kesim kesişemez, ancak kesimler aynı kenar noktasında buluşabilir.
- Daha fazla kurallı kesme yapılamayana kadar kesmeye devam edin.
Herhangi bir yansımayı veya dönüşümü farklı sayarsak, N x N karesini kesme yollarının sayısını C(N) ile tanımlayalım. Örneğin C(1) = 2 ve C(2) = 30 (aşağıda gösterilmiştir).
C(30) mod 108 kaçtır?
21 Temmuz 2019
Euler Projesi 269. Soru
En az bir tam sayı köke sahip polinomlar
P(x)=0 denkleminin bir çözümüne P(x) polinomunun bir kökü ya da sıfırı denir.
Bir n sayısının basamaklarını katsayı kabul eden polinomu Pn ile gösterelim.
Örneğin P5703(x)=5x3+7x2+3.
Şunları gösterebiliriz:
Z(100.000)=14696 olduğu doğrulanabilir.
Z(1016) kaçtır?
P(x)=0 denkleminin bir çözümüne P(x) polinomunun bir kökü ya da sıfırı denir.
Bir n sayısının basamaklarını katsayı kabul eden polinomu Pn ile gösterelim.
Örneğin P5703(x)=5x3+7x2+3.
Şunları gösterebiliriz:
- Pn(0), n sayısının son basamağıdır.
- Pn(1), n sayısının basamakları toplamıdır.
- Pn(10), n sayısıdır.
Z(100.000)=14696 olduğu doğrulanabilir.
Z(1016) kaçtır?
27 Ekim 2018
Euler Projesi 253. Soru:
Etrafı derleyip toplamak
Bir çocuğun kırk parçadan oluşan oyuncak bir "sayı tırtılı" var, her yapboz parçasının üzerinde bir sayı olup birleştirildiklerinde sırayla 1 den 40 a sayılar açığa çıkıyor.
Her gece çocuğun babası etrafa dağılan parçaları alıp topluyor. Parçaları rastgele alıp doğru sırada yerleştiriyor.
Tırtıl bu şekilde oluşturulurken, gittikçe birbiriyle birleşen segmentler oluşturuyor.
Segmentlerin sayısı 0 dan başlayıp (hiçbir parça yerleştirilmemiş) genellikle 11 ya da 12 ye kadar yükseliyor, sonra tekrar düşme eğilimine girerek tek bir segment olarak bitiyor (tüm parçalar yerleştirilmiş).
Örneğin:
Tırtılın rastgele derlenip toparlanması sırasındaki karşılaşılan maksimum segment sayısı M olsun.
10 parçalı bir tırtıl için her M için olasılıkların sayısı şöyledir:
Bir çocuğun kırk parçadan oluşan oyuncak bir "sayı tırtılı" var, her yapboz parçasının üzerinde bir sayı olup birleştirildiklerinde sırayla 1 den 40 a sayılar açığa çıkıyor.
Her gece çocuğun babası etrafa dağılan parçaları alıp topluyor. Parçaları rastgele alıp doğru sırada yerleştiriyor.
Tırtıl bu şekilde oluşturulurken, gittikçe birbiriyle birleşen segmentler oluşturuyor.
Segmentlerin sayısı 0 dan başlayıp (hiçbir parça yerleştirilmemiş) genellikle 11 ya da 12 ye kadar yükseliyor, sonra tekrar düşme eğilimine girerek tek bir segment olarak bitiyor (tüm parçalar yerleştirilmiş).
Örneğin:
| Yerleştirilen Parça | O ana kadarki segmentler |
| 12 | 1 |
| 4 | 2 |
| 29 | 3 |
| 6 | 4 |
| 34 | 5 |
| 5 | 4 |
| 35 | 4 |
| … | … |
10 parçalı bir tırtıl için her M için olasılıkların sayısı şöyledir:
| M | Olasılıklar |
| 1 | 512 |
| 2 | 250912 |
| 3 | 1815264 |
| 4 | 1418112 |
| 5 | 144000 |
Böylece M nin en olası değeri 3 ve ortalama değer ise altı ondalık basamağa kadar $385643/113400=3,400732$ dir.
40 parçalı bir tırtıl için M nin en olası değeri 11 dir; ancak M nin ortalama değeri kaçtır?
Cevabınızı altı ondalık basamağa yuvarlayarak veriniz.
1 Şubat 2018
Euler Projesi 235. Soru
Bir Aritmetik Geometrik Dizi
Aritmetik-geometrik u(k) = (900-3k)rk-1 dizisi verilsin.
s(n) = Σk = 1 ... nu(k) olsun.
s(5000) = -600.000.000.000 için r değerini bulunuz.
Cevabınızı 12 ondalık basamağa göre yuvarlayınız.
Aritmetik-geometrik u(k) = (900-3k)rk-1 dizisi verilsin.
s(n) = Σk = 1 ... nu(k) olsun.
s(5000) = -600.000.000.000 için r değerini bulunuz.
Cevabınızı 12 ondalık basamağa göre yuvarlayınız.
29 Temmuz 2017
Euler Projesi 230. Soru
Fibonacci Kelimeleri
Herhangi iki A and B rakam dizisi için içindeki her terim önceki ikisinin birleşimi olan FA,B dizisini (A,B,AB,BAB,ABBAB,...) biçiminde tanımlayalım.
Dahası DA,B(n), FA,B dizisinin en az n basamağı bulunan ilk teriminin n. basamağı olsun.
Örnek:
A=1415926535, B=8979323846 olsun. DA,B(35) bulmak için:
FA,B dizisinin ilk birkaç terimi:
1415926535
8979323846
14159265358979323846
897932384614159265358979323846
14159265358979323846897932384614159265358979323846
Bu durumda DA,B(35), 5. terimdeki 35. basamaktır: 9.
Şimdi A için π sayısının ilk 100 ondalık basamağını alalım:
14159265358979323846264338327950288419716939937510
58209749445923078164062862089986280348253421170679
ve B için sonraki 100 basamağı:
82148086513282306647093844609550582231725359408128
48111745028410270193852110555964462294895493038196 .
∑n = 0,1,...,17 10n× DA,B((127+19n)×7n) kaçtır?
Herhangi iki A and B rakam dizisi için içindeki her terim önceki ikisinin birleşimi olan FA,B dizisini (A,B,AB,BAB,ABBAB,...) biçiminde tanımlayalım.
Dahası DA,B(n), FA,B dizisinin en az n basamağı bulunan ilk teriminin n. basamağı olsun.
Örnek:
A=1415926535, B=8979323846 olsun. DA,B(35) bulmak için:
FA,B dizisinin ilk birkaç terimi:
1415926535
8979323846
14159265358979323846
897932384614159265358979323846
14159265358979323846897932384614159265358979323846
Bu durumda DA,B(35), 5. terimdeki 35. basamaktır: 9.
Şimdi A için π sayısının ilk 100 ondalık basamağını alalım:
14159265358979323846264338327950288419716939937510
58209749445923078164062862089986280348253421170679
ve B için sonraki 100 basamağı:
82148086513282306647093844609550582231725359408128
48111745028410270193852110555964462294895493038196 .
∑n = 0,1,...,17 10n× DA,B((127+19n)×7n) kaçtır?
21 Haziran 2017
Euler Projesi 226. Soru
Pelte Kepçesi
Bir pelte eğrisi, s(x) = "x'ten en yakın tam sayıya olan uzaklık" olmak üzere $0\le x\le 1$ için $$y=\sum_{n=0}^{\infty} [\frac{s(2^nx)}{2^n}],$$ eşitliğini sağlayan (x,y) noktalarının kümesidir.
Pelte eğrisinin altındaki alan 1/2 dir (şekilde pembe alan).
Merkezi (1/4,1/2) ve yarıçapı 1/4 olan çember C olsun (şekilde siyah çember).
Pelte eğrisinin altındaki alanın ne kadarı C'nin içinde kalır? Cevabınızı 0,abcdefgh şeklinde 8 ondalık basamağa kadar veriniz.
Bir pelte eğrisi, s(x) = "x'ten en yakın tam sayıya olan uzaklık" olmak üzere $0\le x\le 1$ için $$y=\sum_{n=0}^{\infty} [\frac{s(2^nx)}{2^n}],$$ eşitliğini sağlayan (x,y) noktalarının kümesidir.
Pelte eğrisinin altındaki alan 1/2 dir (şekilde pembe alan).
Pelte eğrisinin altındaki alanın ne kadarı C'nin içinde kalır? Cevabınızı 0,abcdefgh şeklinde 8 ondalık basamağa kadar veriniz.
30 Nisan 2017
Euler Projesi 221. Soru
Aleksandria Tamsayıları
$$A=pqr \textrm{ ve} 1/A=1/p+1/q+1/r$$
eşitliklerini sağlayan $p,q,r$ tamsayılarının bulunması durumunda $A$ sayısına bir "Aleksandria tamsayısı" denir. Örneğin, 630 bir Aleksandria tamsayısıdır ($p=5, q=-7, r=-18$).
Aslında 630, 6. Aleksandria tamsayısı, ilk 6 Aleksandria tamsayısı ise 6, 42, 120, 156, 420 ve 630'dur.
O halde 150000. Aleksandria tamsayısı kaçtır?
$$A=pqr \textrm{ ve} 1/A=1/p+1/q+1/r$$
eşitliklerini sağlayan $p,q,r$ tamsayılarının bulunması durumunda $A$ sayısına bir "Aleksandria tamsayısı" denir. Örneğin, 630 bir Aleksandria tamsayısıdır ($p=5, q=-7, r=-18$).
Aslında 630, 6. Aleksandria tamsayısı, ilk 6 Aleksandria tamsayısı ise 6, 42, 120, 156, 420 ve 630'dur.
O halde 150000. Aleksandria tamsayısı kaçtır?
Kaydol:
Kayıtlar (Atom)