Daire, Kare ve Üçgen

 

Bir kare ve içinde eşkenar üçgen ve içinde birim çember bulunuyor. Taralı alan nedir?

Yarım Daire ve Üçgenler

 

Şekildeki kırmızı renkli üçgenin bir köşesi yarım dairenin merkezinde ve diğer köşeleri üzerindedir. Verilen 3 birim karelik alana göre siyah renkli üçgenin alanı kaçtır?

Daire, Yarım Daire ve Üçgen

Her iki küçük dairenin yarıçapları 4 birim ise büyük yarım dairenin yarıçapı kaçtır?

Kare ve Üçgenler

 

Şekildeki karede mor renkli üçgen kare alanının 1/4'ü ise sarı renkli ikizkenar üçgen ne kadarıdır?

Üçgen ve Daire Alanı

 

Dairenin alanı nedir?

Euler Projesi 279. Soru

Kenar uzunlukları ve bir iç açısı tam sayı olan üçgenler

Kenar uzunlukları ve en az bir iç açısı (derece cinsinden) tam sayı olan ve çevre uzunluğu en fazla $10^8$ olan kaç üçgen bulunur?

Euler Projesi 276. Soru

İlkel Üçgenler

Kenar uzunlukları a, b ve c ($a\le b\le c$) tam sayıları olan üçgenleri düşünün.
Tam sayı kenar uzunluklarına sahip herhangi bir üçgen GCD(a,b,c)=1 ise ilkel olarak adlandırılır.
Çevre uzunluğu 10.000.000'dan fazla olmayan kaç adet tam sayı kenarlı ilkel üçgen bulunur?

Kare ve Eşkenar Üçgen

Şekilde verilen kare ve eşkenar üçgen için a:b oranı kaçtır?

Üçgen ve Kenarları

Şekilde verilen üçgene göre a:b oranı kaçtır?

Euler Projesi 264. Soru

Üçgen Merkezleri

Aşağıda verilen özelliklere sahip tüm üçgenleri düşünün:

• Tüm köşeleri örgü noktaları üzerinde
• Çevrel çemberin merkezi O orijin noktasında
• Yüksekliklerin kesim noktası H(5,0)

Çevre uzunluğu ≤ 50 olan böyle 9 adet üçgen vardır.
Yarıçapları artan sırada olmak üzere bunlar:

A(-4, 3), B(5, 0), C(4, -3)
A(4, 3), B(5, 0), C(-4, -3)
A(-3, 4), B(5, 0), C(3, -4)

A(3, 4), B(5, 0), C(-3, -4)
A(0, 5), B(5, 0), C(0, -5)
A(1, 8), B(8, -1), C(-4, -7)

A(8, 1), B(1, -8), C(-4, 7)
A(2, 9), B(9, -2), C(-6, -7)
A(9, 2), B(2, -9), C(-6, 7)

Bunların çevre uzunlukları toplamı 4 ondalık basamağa kadar 291,0089'dur.

Çevre uzunluğu ≤ 10⁵ olan böyle üçgenleri bulun. Bunların çevre uzunlukları toplamını 4 ondalık basamağa kadar cevabınız olarak girin.

Eşkenar Üçgen ve Dörtgen

Bir eşkenar üçgen ile eşkenar dörtgen şekildeki gibi veriliyor. Üçgenin iki yan kenarı dörtgenin kenarlarına dik ise üçgen ile dörtgenin alanları oranı nedir?

Euler Projesi 257. Soru

Açıortaylar

Aşağıda kenar uzunlukları a ≤ b ≤ c tam sayıları olan bir ABC üçgeni veriliyor. (AB = c, BC = a ve AC = b).
Üçgenin açıortayları kenarları E, F ve G noktalarında kesiyor (aşağıdaki resme bakınız).

EF, EG ve FG segmentleri ABC üçgenini dört küçük üçgene böler: AEG, BFE, CGF ve EFG.
Bu dört üçgenin her biri için alan(ABC)/alan(alt üçgen) oranının rasyonel olduğu kanıtlanabilir.
Bununla birlikte, bu oranların bir kısmının veya tamamının tam sayı olduğu üçgenler vardır.

Alan(ABC)/alan(AEG) oranı tam sayı olacak şekilde çevre uzunluğu ≤100.000.000 olan kaç ABC üçgeni vardır?

Kare ve Dikdörtgen

Yukarıda gösterilen karenin alanı 8x8=64 birim karedir. Kare gösterildiği şekilde dörde bölünüyor ve ardından parçalardan şekildeki gibi bir dikdörtgen oluşturuluyor. Dikdörtgenin alanı ise 13x5=65 birim karedir. Şimdi, bu alan farkının nedeni nedir?

Euler Projesi 218. Soru

Perfect right-angled triangles

Kenar uzunlukları a=7, b=24 ve c=25 olan dik üçgeni düşünün. Alanı 84 olup 6 ve 28 mükemmel sayılarıyla bölünebilir.

Dahası bir ilkel dik üçgendir, yani ebob(a,b)=1 ve ebob(b,c)=1. Ayrıca c bir tam karedir. Bir dik üçgene ilkel olması ve hipotenüsünün tam kare olması durumunda mükemmel denir.

Bir dik üçgene mükemmel olması ve alanının 6 ile 28 mükemmel sayıları ile bölünebilmesi durumunda süper-mükemmel denir.

c≤10¹⁶ olmak üzere kaç tane süper olmayan mükemmel dik üçgen vardır?

Euler Projesi 210. Soru

Geniş Açılı Üçgenler

|x| + |y| ≤ r denklemini sağlayan (x,y) tamsayı koordinatlara sahip noktalar kümesi S(r) ile gösterilsin. O(0,0) ve C(r/4,r/4) noktaları verilsin. S(r) kümesinde OBC üçgeni geniş açılı olacak şekilde alınabilen B noktalarının sayısı N(r) olsun (yani en geniş açı α, 90°<α<180° eşitsizliğini sağlar). Bu durumda, örneğin N(4)=24 ve N(8)=100 olur.

Şimdi, N(1,000,000,000) değeri kaçtır?

Euler Projesi 202. Soru

Üç ayna yansıtıcı yüzeyleri iç bölgeyi gösterecek şekilde bir eşkenar üçgen formunda yerleştirilmiştir (Şekil). Her köşede ise sadece bir lazer ışınının geçebileceği kadar büyüklükte boşluk bırakılmıştır.

Köşeleri A,B ve C olarak etiketlenen üçgende, bir lazer ışınının C köşesinden girip 11 kere yüzeyden yansıyıp tekrar aynı köşeden çıkabilmesinin 2 yolu vardır: bir yolu şekilde gösterilmiş, diğeri ise bunun tersi yöndedir.

Aynı şekilde C köşesinden giren bir lazer ışınının 1000001 kere yüzeylerden yansıyıp aynı köşeden çıkabilmesinin ise 80840 yolu vardır.

C köşesinden giren bir lazer ışınının 12017639147 kere yüzeylerden yansıyıp aynı köşeden çıkabilmesinin kaç yolu vardır?