Euler Projesi 281. Soru

Pizza Malzemeleri

Size m · n eşit parçaya kesilmiş bir pizza (mükemmel daire) veriliyor ve her dilimde tam olarak bir malzeme olmasını istiyorsunuz.

F(m, n) pizzayı, m farklı malzeme (m ≥ 2) ile, her bir malzemeyi tam olarak n dilimde (n ≥ 1) kullanarak yapabileceğiniz yolların sayısını göstersin. Yansımalar farklı kabul edilirken rotasyonlar farklı kabul edilmemektedir.

Böylece, örneğin, f (2,1) = 1, f (2,2) = f (3,1) = 2 ve f (3,2) = 16.

f (3,2) aşağıda gösterilmiştir:

F (m, n) ≤ 10¹⁵ olacak şekilde tüm f (m, n) toplamlarını bulunuz.

Euler Projesi 258. Soru

Gecikmeli Fibonacci Dizisi

Bu dizi aşağıdaki şekilde tanımlanıyor:

• g_k = 1, 0 ≤ k ≤ 1999 ise
• g_k = g_k-2000 + g_k-1999, k ≥ 2000 ise.

k = 10¹⁸ için g_k mod 20092010 değerini bulunuz.

Euler Projesi 245. Soru

Eşdirenç

Sadeleştirilemeyen bir kesre 'dirençli' kesir adı verilir. Bir d doğal sayısı için, paydası d olan tüm dirençli basit kesirlerin sayısının tamamına oranı R(d) olsun; örneğin R(12)=4/11.

Bu durumda d>1 sayısının direnci $φ(d)/(d-1)$ ile tanımlanır. Burada φ, Euler totient fonksiyonudur.

Ayrıca bir n>1 sayısının eşdirencini $C(n)=[n-φ(n)]/(n-1)$ olarak tanımlanır. Bir p asal sayısının eşdirenci $C(p)=1/(p-1)$ olur.

$1<n \le 2\times 10^{11}$ için C(n) bir birim kesir olacak şekilde tüm bileşik n tam sayılarının toplamını bulunuz.

Euler Projesi 226. Soru

Pelte Kepçesi

Bir pelte eğrisi, s(x) = "x'ten en yakın tam sayıya olan uzaklık" olmak üzere $0\le x\le 1$ için $$y=\sum_{n=0}^{\infty} [\frac{s(2^nx)}{2^n}],$$ eşitliğini sağlayan (x,y) noktalarının kümesidir.

Pelte eğrisinin altındaki alan 1/2 dir (şekilde pembe alan).

Merkezi (1/4,1/2) ve yarıçapı 1/4 olan çember C olsun (şekilde siyah çember).

Pelte eğrisinin altındaki alanın ne kadarı C'nin içinde kalır? Cevabınızı 0,abcdefgh şeklinde 8 ondalık basamağa kadar veriniz.

Euler Projesi 216. Soru

2n²-1 Formundaki Sayıların Asallığı

n>1 olmak üzere t(n)=2n²-1 formundaki t(n) sayılarını ele alalım. Böylesi ilk sayılar 7, 17, 31, 49, 71, 97,  127 ve 161'dir. Burada sadece 49=7*7 ve 161=7*23 asal sayı değildir. n≤10000 için 2202 tane asal olan t(n) sayısı vardır.
n≤50000000 için kaç tane t(n) sayısı vardır?

Euler Projesi 201. Soru

Herhangi bir A sayı kümesi için, A kümesinin elemanları toplamı sum(A) ile gösterilsin. Örneğin, B = {1,3,6,8,10,11} kümesi için sum(A) = 39 dur. B kümesinin üç elemanlı 20 alt kümesi vardır ve bunların toplamları şu şekildedir:
sum({1,3,6}) = 10,
sum({1,3,8}) = 12,
sum({1,3,10}) = 14,
sum({1,3,11}) = 15,
sum({1,6,8}) = 15,
sum({1,6,10}) = 17,
sum({1,6,11}) = 18,
sum({1,8,10}) = 19,
sum({1,8,11}) = 20,
sum({1,10,11}) = 22,
sum({3,6,8}) = 17,
sum({3,6,10}) = 19,
sum({3,6,11}) = 20,
sum({3,8,10}) = 21,
sum({3,8,11}) = 22,
sum({3,10,11}) = 24,
sum({6,8,10}) = 24,
sum({6,8,11}) = 25,
sum({6,10,11}) = 27,
sum({8,10,11}) = 29.
Görüldüğü üzere bazı toplamlar bir defa, bazıları çok defa gerçekleşmiştir.
Herhangi bir A kümesi için, k-elemanlı alt kümelerin bir defa gerçekleşen toplamları kümesi U(A,k) ile gösterilsin. Örneğe göre U(B,3) = {10,12,14,18,21,25,27,29} ve sum(U(B,3)) = 156 olur.
Şimdi, 100 elemanlı S = {1², 2², ... , 100²} kümesi ele alınsın. S kümesinin 50-elemanlı alt kümeleri sayısı 100891344545564193334812497256 dır.Buna göre sum(U(S,50)) kaçtır?